Cónicas afines sobre un campo algebraicamente cerrado de char 2

Question

El siguiente argumento clasifica las cónicas afines sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ con el carbón $(k)\neq 2.$

Pero no veo dónde se utiliza la hipótesis de que char $(k)\neq 2.$ ¿Es una hipótesis innecesaria?

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Dejemos que $k$ sea un campo algebraicamente cerrado con char $(k)\neq2$ y que $Q(x,y)$ sea un polinomio irreducible de grado 2 en $k[x,y].$

Escribimos $Q(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f$ para algunos $a,\ldots,f \in k.$

Desde $k$ es algebraicamente cerrado, tenemos $$Q(x,y)=L_1L_2+L_3+f$$ donde $L_3=dx+ef$ y $L_1,L_2$ son formas lineales en $k[x,y]$ tal que $L_1L_2=ax^2+bxy+cy^2.$

Nos dividimos en dos casos: (1) $L_1\sim L_2$ y (2) $L_1\not\sim L_2.$

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(1) Si $L_1\sim L_2,$ entonces $L_2=\lambda L_1$ para algunos $\lambda \in k^\times$ y tenemos $Q(x,y)=\lambda L_1^2 + L_3 + f.$

Desde $k$ es algebraicamente cerrado y $Q(x,y)$ es irreducible en $k[x,y],$ se deduce que $L_1\not\sim L_3.$

Por lo tanto, $(u,v)=(\sqrt{-\lambda}L_1,\,L_3+f)$ es un cambio afín de coordenadas tal que $$Q(x,y)=v-u^2.$$

(2) Si $L_1\not\sim L_2,$ entonces existe $\lambda,\mu \in k$ tal que $L_3=\lambda L_1+\mu L_2.$

Por lo tanto, tenemos $Q(x,y)=(L_1+\mu)(L_2+\lambda)-(\lambda\mu-f).$

Desde $Q(x,y)$ es irreducible en $k[x,y],$ se deduce que $\lambda\mu-f\neq 0.$

Por lo tanto, $(u,v)=\left(\dfrac{L_1+\mu}{\sqrt{\lambda\mu-f}}\,,\dfrac{L_2+\lambda}{\sqrt{\lambda\mu-f}}\right)$ es un cambio afín de coordenadas tal que $$Q(x,y)\sim uv-1.$$

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Si $L_1=\alpha x+ \beta y$ y $L_2=\gamma x + \delta y,$ entonces $L_1\sim L_2$ si y sólo si $\alpha\delta-\beta\gamma=0.$

Además, como $L_1L_2=ax^2+bxy+cy^2,$ tenemos $$(\alpha\delta-\beta\gamma)^2=(\alpha\delta+\beta\gamma)^2-4(\alpha\gamma)(\beta\delta)=b^2-4ac.$$ De ello se desprende que $$k[x,y]/(Q(x,y))\cong \left\{\begin{array}{ll} k[t] & \text{if } b^2=4ac,\\ k[t,t^{-1}] & \text{if } b^2\neq 4ac. \end{array}\right.$$

Answer 1

Ampliando mi comentario en una respuesta:

Estos son algunos lemas utilizados en la demostración. Todos ellos son verdaderos sin importar la característica del campo.

Lema 1 : Dejemos que $k$ sea un campo algebraicamente cerrado. Entonces cualquier polinomio en una variable sobre $k$ factores completamente en un producto de factores lineales (no necesariamente distintos).

Prueba: Esta es la definición de $k$ siendo algebraicamente cerrado.

Lema 2 : Dejemos que $k$ sea un campo algebraicamente cerrado. Entonces cualquier polinomio homogéneo en dos variables sobre $k$ en factores lineales homogéneos (no necesariamente distintos).

Prueba: Sea $f(x,y)$ sea nuestro polinomio. Escribe $f(x,y)=x^ng(x,y)$ con $n$ máximo. Ahora $g(x,y)$ no es divisible por $x$ . Si $g=1$ hemos terminado. Si no, entonces deshomogeneizar $g$ con respecto a $x$ , aplicar el lema 1, y rehomogeneizar para obtener el resultado.

Lema 3 : Un endomorfismo lineal de $k[x_1,\cdots,x_n]$ dado por $x_i\mapsto \sum a_{ij}x_j$ es un automorfismo si la matriz $[a_{ij}]$ es invertible.

Prueba: La transformación inversa viene dada por la inversa de la matriz anterior, y componer las transformaciones corresponde a multiplicar matrices.

Lema 4 : Un endomorfismo afín de $k[x_1,\cdots,x_n]$ dado por $x_i\mapsto \sum a_{ij}x_j + c_i$ es un automorfismo si la matriz $[a_{ij}]$ es invertible.

Prueba: Basta con demostrar que toda traducción $x_i\mapsto x_i+c_i$ es un endomorfismo, ya que la composición de los endomorfismos son endomorfismos, y la parte lineal queda resuelta por el lema 3. Pero esto está claro, ya que la inversa de una traslación $x_i\mapsto x_i+c_i$ es $x_i\mapsto x_i-c_i$ .

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Factorizamos $f=L_1L_2+L_3+f$ por el lema 2 aplicado a la parte de grado dos.

En el caso 1, vemos que $L_3\not \sim L_1$ De lo contrario, $f=p(L_1)$ para algún cuadrático $p\in k[t]$ , lo que implicaría que debe ser reducible por el lema 1. El cambio de coordenadas afín indicado es entonces un isomorfismo porque el determinante de la matriz relevante mencionada en el lema 4 es $\sqrt{-\lambda}\neq 0$ .

En el caso 2, observamos que la primera afirmación sobre la escritura $L_3$ como una combinación lineal de $L_1=Ax+By$ y $L_2=Cx+Dy$ se deduce del hecho de que los vectores $(A,B)$ y $(C,D)$ son linealmente independientes - $L_1\not\sim L_2$ si $\det\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \neq0$ , lo que significa que podemos escribir $L_3=Ex+Fy$ como la combinación lineal deseada. A continuación, aplicamos el lema 4.

En el enunciado final, está claro que la característica dos no se utiliza nunca, y la clasificación coincide exactamente con la del buena respuesta de Takumi Murayama escrito expresamente para el caso característico dos.

Así, la prueba detallada en la pregunta es válida en cualquier característica.