El cociente en $ \mathbb{Z} _{5} [x] $ por un polinomio irreducible.

Question

Dejemos que $ f(x) = x^2+x+2$ en $ \mathbb{Z} _{5} [x] $ . Encuentra el cociente $ \mathbb{Z} _{5} [x] / (f(x)) $

Sé que $f$ es irreductible, pero no veo cómo eso me ayuda. Yo diría que el cociente es el conjunto de todos los polinomios en $ \mathbb{Z} _{5} [x] $ con un grado inferior a 2.

En general, cuando miro el cociente de $F[X] $ por un ideal generado por un polinomio $(f(x)) $ , donde $F$ es un campo, el cociente es el conjunto de todos los restos cuando se divide cualquier polinomio de $F[X] $ por $f(x) $ ?

Answer 1

Si nos ponemos técnicos o estudiamos los fundamentos, el cociente es un conjunto de clases de residuos y los restos son representantes de estas clases. Teniendo esto en cuenta, su conjetura sobre los polinomios en $\Bbb Z_5[x]$ con grado inferior a $2$ sería correcto.

Answer 2

Permítanme añadir esta respuesta a la pura descripción dada por Fimpellizieri:

Como $f$ es irreducible genera un ideal maximal (ya que $\mathbb{F}_5[x]$ es un pid) y por tanto el cociente $\mathbb{F}_5[x]/(f)$ es un campo. Es (hasta el isomorfismo) el único campo con $25$ elementos. Lo que realmente sucede cuando se hace esto es que se añade una raíz del polinomio al campo $\mathbb{F}_5$ y luego lo conviertes en un campo de nuevo (o en realidad tomas la intersección de todas las extensiones de campo tales que el campo base y la raíz están contenidos). Lo que has construido es, pues, la extensión de campo más pequeña de $\mathbb{F}_5$ tal que su polinomio tiene una raíz (en realidad las dos entonces ya que era un grado $2$ polinomio).