Demostrar que $(x_n)$ es la secuencia de Cauchy.

Question

Dejemos que $(x_n)$ sea una secuencia de números reales que satisfaga la siguiente condición:

Para cada $\epsilon>0$ existe un número entero positivo $N$ tal que $|x_n-x_N|<\epsilon$ siempre que $n>N$ . Demostrar que $(x_n)$ es la secuencia de Cauchy.

$\underline{Attempt}$

Según la definición dada,

Dejemos que $\epsilon>0$ entonces existe un número entero positivo $N$ tal que $|x_n-x_N|<\frac{\epsilon}{2}$ siempre que $n>N$

Tome cualquier $m \in \mathbb{N}$ s.t $m>n$ se deduce que

$|x_m-x_N|<\frac{\epsilon}{2}$ siempre que $n>N$ ,

$$|x_m-x_n|=|x_m-x_N-(x_n-x_N)|<|x_n-x_N|+|x_m-x_N|<\epsilon$$ siempre que $m>n>N$ ,

así $(x_n)$ es la secuencia de Cauchy

¿Puede alguien verificar mi respuesta?

Answer 1

Tu prueba es correcta, pero se puede simplificar un poco. Tienes que para cada $\varepsilon>0$ existe un $N\in\mathbb{N}$ de manera que si $n\geq N$ entonces $|x_n-x_N|<\varepsilon/2$ . A partir de ahí, deja que $n,m\geq N$ . Entonces $$|x_n-x_m|=|x_n-x_N+x_N-x_m|\leq|x_n-x_N|+|x_m-x_N|$$ Porque $n,m\geq N$ entonces has terminado, ya que $|x_n-x_N|,|x_m-x_N|<\varepsilon/2$ .