Interpretación no equivalente

Question

¿Puede alguien proporcionar una interpretación que demuestre que lo siguiente no es equivalente?

$$\forall x \in D, P(x) \vee Q(x)\;\;\text{vs.}\;\;(\forall x \in D, P(x)) \vee (\forall x \in D, Q(x))$$

Parecen equivalentes.

Answer 1

O; que $D=\mathbb Z$ y $$P(x): x~\text{is odd},Q(x): x~~~\text{is even}$$

Answer 2

Dejemos que $D=\Bbb R$ y $P(x)$ media $x\ge 0$ . ¿Puede encontrar una propiedad adecuada $Q(x)$ ?

Answer 3

El primer enunciado afirma que para todos los $x \in D, P$ es verdadero o $Q$ es cierto. Tal vez ambas cosas sean verdaderas, suponiendo que la afirmación utilice el OR inclusivo. Sin embargo, este enunciado no afirma que ambos $P \text{ and } Q$ debe sea cierto para cualquier $x$ . Tampoco afirma que alguna de las dos cosas (o ambas) deba ser cierta para todos los $x$ .

La segunda declaración, en cambio, afirma que $P$ debe ser cierto para todos los $x$ o $Q$ debe ser cierto para todos los $x$ o ambos son simultáneamente verdaderos para todos $x$ . Así, por ejemplo, con esta afirmación puede que no se dé el caso de que $P$ es cierto para todos los $x$ y $Q$ es cierto para algunos $x$ pero no otros. Sin embargo, esta posibilidad está incluida en la primera afirmación.