encontrar $2$ -ciclo en la ecuación de diferencia logística

Question

La ecuación de diferencia logística viene dada por $x_{n+1}=Cx_n(1-x_n)$ . Se supone que debo mostrar que cuando $C>3$ la ecuación de diferencia logística tiene un $2$ -ciclo.

Dejar $f(x)=Cx(1-x)$ Si $\{x_0,x_1\}$ es nuestro $2$ -ciclo tenemos que $x_{1}=f(x_0)$ . Por lo tanto, si se trata de un $2$ -ciclo, queremos encontrar los valores de $C$ para que $f^2(x_0)=x_0.$

Así que lo que queremos es algún valor de $C$ para que $$f(f(x_0))=Cf(x_0)(1-f(x_0))=C(Cx_0(1-x_0))(1-(Cx_0(1-x_0))) = x_0.$$

Mi idea es que, después de algunas manipulaciones, debería ser capaz de demostrar que esta igualdad sólo puede mantenerse cuando $C>3$ pero realizar la manipulación que lo demuestre está resultando un poco difícil.

Cualquier idea sería muy apreciada.

Gracias de antemano.

Answer 1

Iterando tenemos:

$$x_{n} = C^{2}x_{n-2}(1-x_{n-2})(1-Cx_{n-2}(1-x_{n-2}))$$

$$x_{n} = C^{2}x_{n-2}(1-x_{n-2})(1-Cx_{n-2} + Cx^{2}_{n-2})$$

Resolviendo los equilibrios tenemos un equilibrio cero y las raíces del polinomio:

$$C^{2} - 1 - C^{2}x - C^{3}x + C^{3}x^{2} + C^{3}x^{2} - C^{3}x^{3} $$

Se puede factorizar el equilibrio positivo conocido $\frac{C-1}{C}$ utilizando la división larga del polinomio y luego utilizar la fórmula cuadrática para obtener la solución periódica de período 2.

$$P_{1} = \frac{C + 1 - \sqrt{C^{2} - 2C - 3}}{2C}$$

$$P_{2} = \frac{C + 1 + \sqrt{C^{2} - 2C - 3}}{2C}$$

Que existirá siempre que $C^{2} - 2C - 3 > 0$ . Suponiendo que $C > 0$ esto ocurrirá siempre que $C > 3$ .

Answer 2

Para facilitarte la vida, puedes hacer lo siguiente:

Para encontrar el $2$ -ciclo, se puede considerar directamente la siguiente ecuación en $x$ [Tenga en cuenta el denominador; no quiere que el $1$ -ciclos]

$$\frac{f^2(x) - x}{f(x) - x} = C^2x^2 - C(C+1)x + (C+1) = 0$$

Las raíces serán reales y desiguales si el discriminante $$C^2(C+1)^2 - 4C^2(C + 1) > 0 \implies C^2(C+1)(C-3) > 0 \implies C > 3$$ desde $C > 0$

Nota

La intuición es la siguiente: si se calculan directamente los puntos fijos de segundo orden, también se calculan los puntos fijos de primer orden. Se obtendrá un $4$ ecuación de grado en $x$ , ignora los dos factores lineales correspondientes a los dos puntos fijos de primer orden y considera la cuadrática (es decir, el discriminante de la cuadrática) en $x$ . Aquí evitamos estos detalles y consideramos directamente la cuadrática. Para más detalles, véanse las ecuaciones $15$ - $23$ aquí