Prueba del vector singular izquierdo y derecho en el SVD

Question

En la SVD: $$M = UDV^T$$ ¿Cómo se demuestra que las columnas de $U$ son vectores propios de $MM^T$ y columnas de $V$ son vectores propios de $M^TM$ ?

Answer 1

Para $U$ : computa $$ MM^T = (UDV^T)(UDV^T)^T = UD^2U^T $$ Es decir, que $U$ diagonaliza $MM^T$ . Si eso no te convence, reescribe esto como $$ (MM^T)U = UD^2 $$ es decir, que $$ (MM^T)\pmatrix{u_1 & \cdots & u_n} = \pmatrix{u_1&\cdots & u_n} \pmatrix{\sigma_1^2 \\ & \ddots \\ && \sigma_n^2} $$ Las columnas de la matriz de la izquierda son $MM^T u_i$ pero las columnas de la matriz de la derecha son $\sigma_i^2 u_i$ . La conclusión es la siguiente.