Ejemplos de espacios conectados no compactos con la propiedad...

Question

Busco un espacio conectado no compacto $X$ tal que para cualesquiera dos cerradas disjuntas $A,B\subseteq X$ existe una conexión adecuada y cerrada $C\subseteq X$ tal que $A\cup B\subseteq C$ .

Me gustaría que el espacio fuera normal, si es posible.

Un ejemplo de compacto espacio conectado con esta propiedad es el círculo $S^1$ : Si $A$ y $B$ son conjuntos cerrados disjuntos en $S^1$ entonces $A\cup B\subsetneq S^1$ desde $S^1$ está conectado, por lo que $S^1 \setminus (A\cup B)$ contiene un segmento abierto $(a,b)$ . Entonces $S^1 \setminus (a,b)$ es la deseada.

Nótese que los reales no tienen esta propiedad.

Answer 1

Aquí hay una manera aún más fácil de mostrar $\mathbb R^n$ tiene esto para todos $n\geq 2$ , básicamente usando su $S^1$ argumento.

El complemento de $A\cup B$ es abierta y no vacía, por lo que contiene un par de pequeñas bolas abiertas $U\subsetneq V$ . Ahora toma $C=U^c$ . Está cerrado y contiene $A\cup B$ por construcción, y es (camino) conectado cuando $n\geq 2$ .