¿La convergencia en la distribución implica la convergencia de las expectativas?

Question

Si tenemos una secuencia de variables aleatorias $X_1,X_2,\ldots,X_n$ converge en distribución a $X$, es decir, $X_n \rightarrowd X$, entonces es $$ \lim{n \to \infty} E(X_n) = E(X) $$ ¿correcto?

Sé que converger en la distribución implica $E(g(X_n)) \to E(g(X))$ cuando $g$ es una función continua acotada. ¿Podemos aplicar esta propiedad aquí?

Answer 1

Con sus suposiciones, lo mejor que puede obtener es a través del lema de Fatou: $$\mathbb{E}[|X|]\leq \liminf_{n\to\infty}\mathbb{E}[|X_n|]$$ (donde se utilizó el teorema de mapeo continuo para obtener ese $|X_n|\Rightarrow |X|$).

Para una respuesta "positiva" a su pregunta: necesita que la secuencia $(Xn)$ sea uniformemente integrable: $$\lim{\alpha\to\infty} \supn \int{|X_n|>\alpha}|Xn|d\mathbb{P}= \lim{\alpha\to\infty} \sup_n \mathbb{E} [|Xn|1{|Xn|>\alpha}]=0.$$ Entonces, uno obtiene que $X$ es integrable y $\lim{n\to\infty}\mathbb{E}[X_n]=\mathbb{E}[X]$.

Como observación, para obtener una integrabilidad uniforme de $(X_n)_n$ basta con tener por ejemplo: $$\sup_n \mathbb{E}[|X_n|^{1+\varepsilon}]0.$$

Answer 2

Pruebe $\mathrm P(X_n=2^n)=1/n$, $\mathrm P(X_n=0)=1-1/n$.