¿Cuál es el más grande de los dos números?

Question

¿Cuál es el más grande de los dos números?

$$\sqrt{2}^{\sqrt{3}} \mbox{ or } \sqrt{3}^{\sqrt{2}}\, \, \; ?$$ Resolví esto, y creo que es un problema elemental interesante. Quiero diferentes puntos de vista y soluciones. ¡Gracias!

Answer 1

$$\sqrt2^{\sqrt 3}

Answer 2

Sugerencia: Si $a$ y $b$ son números positivos, $a^b

Answer 3

Tenemos $\sqrt{2}>1$ y $\sqrt{3}>1$, por lo que elevar cualquiera de estos a potencias $>1$ los hace más grandes.

Llame a $x=\sqrt{2}^\sqrt{3}$ y $y=\sqrt{3}^\sqrt{2}$.

Tenemos $x^{2\sqrt{3}}$=8 y $y^{2\sqrt{2}}=9.$

Dado que $2\sqrt{2} x$.

Answer 4

Sugerencia: Utilice la función Logaritmo.

Answer 5

En general, podemos establecer dos resultados pertinentes: (1) Si $a$ y $b$ son números reales positivos tales que $b > a \ge e,$, entonces $a ^ {b} > b ^ {a}$;; (2) Si a y b satisfacen $e \ge b > a > 0$, entonces $b ^ {a} > a ^ {b}.$