Probar que la solución del PIV existe dada una condición en el lado derecho

Question

Considere el siguiente PIV: $x'=f(t,x)$ $\ $ y $\ $ $x(0)=x_0$ donde $x\in \mathbb{R^n}$ y $t\in \mathbb{R}$ .

Supongamos que para todo $(t,x)\in\mathbb{R^{n+1}}$ : $|f(t,x)|\leq b(t) |x|^2$ .

Para que la solución del PIV exista para todos los $t>=0$ ¿Qué condiciones debemos imponer a $b(t)$ y $x_0$ ?

Sé que si la función $f: \mathbb{R^{n+1}}\to \mathbb{R^n}$ es continua, entonces existe un teorema (Teorema de Peano) que garantiza que la solución del PIV existe, pero no consigo encontrar la forma de demostrar la continuidad de $f$ . Me pregunto si alguien de vosotros conoce otra forma de solucionar este problema. Gracias.

Answer 1

Si $x_0=0$ entonces $x(t)=0$ es una solución. De lo contrario, no veo ninguna condición que pueda imponer para garantizar la existencia. Considere, por ejemplo $$ f(x,t)=\begin{cases} \phantom{-}x^2 & \text{if $x\in\mathbb{Q}$,}\\ -x^2 & \text{if $x\not\in\mathbb{Q}$.} \end{cases} $$ Entonces $|f(x,t)|\le|x|^2$ con $b(t)=1$ .