Tú y tu amigo juegan un juego en el cual ustedes se turnan para lanzar un dado justo de seis caras y llevan un recuento de la suma de los resultados de todos los lanzamientos hechos. El juego continúa hasta que uno de los dos jugadores gana si, después de que el jugador lanza el dado, el número en el recuento es múltiplo de 7. ¿Deberías empezar primero o es mejor que dejes que tu amigo lance el dado primero?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Este juego tiene dos estados.
Inicio: El total es 0, y sea cual sea el valor que saque el primer jugador, el turno pasa al siguiente jugador y el estado cambia a estándar.
Estándar: El total es mayor que 0, pero no es un múltiplo de 7. El jugador que lanza tiene una probabilidad de 1/6 de ganar; de lo contrario, el turno pasa al otro jugador.
¿Eso aclara la estrategia?
Ed Lucas
Puntos
502
Pensé que respondería a esta pregunta como otra oportunidad para aprender algo de matemáticas que está muy por encima de mi nivel, con la esperanza de que algunos de mis favoritos habituales lo evalúen y vean si estoy en el camino correcto.
Lo primero que hice fue considerar unos cuantos ensayos:
- El jugador 1 tiene una probabilidad de 0/6 de ganar
- El jugador 2 tiene una probabilidad de 1/6 de ganar
- El jugador 1 tiene una probabilidad de 1/6 de ganar
- El jugador 2 tiene una probabilidad de 1/6 de ganar
La probabilidad de que el jugador 1 gane un juego de 1 ronda es 0. La probabilidad de que el jugador 1 gane un juego de 2 rondas es $\mathbb{P} = \mathbb{P}(\text{Ganar Ronda 1}) + \mathbb{P}(\text{Pérdidas en las Rondas 1 y 2}) \cdot \mathbb{P}(\text{Ganar Ronda 3}))$.
Supuse que continúa infinitamente con los resultados volviéndose menos probables a medida que el número de ensayos se acerca al infinito.
Entonces, llegué a esto: $$\mathbb{P}(\text{Jugador 1}) = \dfrac{0}{6} + \dfrac{6}{6} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{1}{6} + \dfrac{6}{6} \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^3 \cdot \dfrac{1}{6} + \ldots $$
$$\mathbb{P}(\text{Jugador 1}) = 0 + \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{1}{6} + \left(\dfrac{5}{6}\right)^3 \cdot \dfrac{1}{6} + \ldots = \dfrac{1}{6} \cdot \left( \dfrac{5}{6} + \left(\dfrac{5}{6}\right)^3 + \left(\dfrac{5}{6}\right)^5 + \ldots \right) $$
Entonces, tuve que averiguar cómo sumar una serie infinita: $\left( \dfrac{5}{6} + \left(\dfrac{5}{6}\right)^3 + \left(\dfrac{5}{6}\right)^5 + \ldots \right) $
Investigué cómo hacer exactamente eso y lo mejor que se me ocurrió fue multiplicar toda la serie por $\left(\dfrac{5}{6}\right)^2$ y restar eso de la serie original. Así que, creo que esto es válido:
$$\left(\dfrac{5}{6}\right)^2 \cdot \left( \dfrac{5}{6} + \left(\dfrac{5}{6}\right)^3 + \left(\dfrac{5}{6}\right)^5 + \ldots \right) = \left( \left(\dfrac{5}{6}\right)^3 + \left(\dfrac{5}{6}\right)^5 + \ldots \right)$$
Si resto la nueva serie de la original, todos los elementos menos el primero deberían cancelarse y debería tener esto:
$$\mathbb{S} - \left(\dfrac{5}{6}\right)^2 \cdot \mathbb{S} = \dfrac{5}{6}$$ $$\mathbb{S} \cdot \left[1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^2\right] = \dfrac{5}{6}$$ $$\mathbb{S} = \dfrac{\dfrac{5}{6}}{\left[1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^2\right]}$$
Si enchufo eso en mi fórmula original, obtengo esto: $$\mathbb{P}(\text{Jugador 1}) = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{\dfrac{5}{6}}{\left[1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^2\right]} = \overline{.45}$$
Como solo hay dos jugadores, esto debería ser cierto: $\mathbb{P}(\text{Jugador 2}) = 1 - \mathbb{P}(\text{Jugador 1}) = \overline{.54} $
Inseguro de mi conclusión original, pensé en calcular la probabilidad de que el Jugador 2 gane para verificar.
$$\mathbb{P}(\text{Jugador 2}) = \dfrac{6}{6} \cdot \dfrac{1}{6} + \dfrac{6}{6} \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^2 \cdot \dfrac{1}{6} + \dfrac{6}{6} \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^4 \cdot \dfrac{1}{6} + \ldots $$
$$\mathbb{P}(\text{Jugador 2}) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} \cdot \left(\left(\dfrac{5}{6}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^4 + \left(\dfrac{5}{6}\right)^6 + \ldots \right) $$
Para sumar esa serie, pensé: $\mathbb{S} = \dfrac{25}{36} + \left(\dfrac{25}{36}\right)^2 + \left(\dfrac{25}{36}\right)^3 + \ldots $
Entonces, $\mathbb{S} - \dfrac{25}{36}\mathbb{S} = \dfrac{25}{36}$ y $\mathbb{S} = \dfrac{\dfrac{25}{36}}{1 - \dfrac{25}{36}}$
Introduzco eso en la fórmula original y encuentro que $\mathbb{P}(\text{Jugador 2}) = \overline{.54}$, lo que esperaba desde antes.
