Sea M una variedad lisa y conectada. G es un grupo que actúa sobre M de forma cocompacta y supongamos que existe una función armónica $h$ en M con una energía mínima. $h:\rightarrow [0,1]$ tal que h es inconstante y hay puntos en M tales que h toma valor 0, 1.
Dejemos que $\mathcal{F}=\{g*h|g\in G\}\cup \{1-g*h|g\in G\}$ . Dos elementos cualesquiera $f,h$ en $\mathcal{F}$ satisfacen exactamente una de las siguientes relaciones.
$f<h$ , $ f>h $ , $f=1-g*h$ , $f<1-g*h$ , $f>1-g*h$ .
Como $h$ es una función suave podemos elegir un valor regular digamos $t>1/2$ que está muy cerca de $1/2$ . Definamos el muro que es $W_f = \{x\in M |f(x)=t\}$ . Obsérvese que cualquier pared divide el colector en dos partes que es $W_f^+=\{x\in M|f(x)>t$ y $W_f^-=\{x\in M|f(x)< t\}$ .
Ahora vamos a empezar con la construcción del gráfico
Dejemos que $M^0=M\setminus \cup_{f\in \mathcal{F}} W_f$ . El conjunto máximo indecomponible formará el vértice y las paredes formarán el borde. Es fácil ver que cada pared $W_f$ es adyacente a exactamente dos conjuntos indecomponibles que contienen en $W_f^+$ y $W_f^{-}$ respectivamente. Así podemos construir un grafo. Ahora la cuestión es que si el gráfico es un árbol ?
Ahora la forma de demostrarlo es la siguiente si un vértice V es adyacente a dos aristas $W_f$ y $W_g$ entonces $f<g$ o $f>g$ sólo puede mantenerse así si hay un ciclo digamos $V_1\rightarrow W_{f_1}\rightarrow V_2\rightarrow W_{f_3}\rightarrow ...V_k\rightarrow W_{f_k}\rightarrow V_1$ entonces obtendremos una contradicción que $f_1<f_1$ .
Me he atascado miserablemente para mostrar lo anterior para todos los casos que $V$ es adyacente a $W_f$ y $W_g$ entonces $f>g$ o $f<g$ es decir, descartar otras desigualdades $f+g<1$ o $f+g>1$ etc...
Si alguien conoce este problema o cualquier otra idea para mostrar esto será muy apreciado.
