Pregunta sobre la racionalización

Question

Dejemos que $\textbf{F}:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ sea un campo vectorial definido como \begin{equation} \textbf{F}(x,y) = (x^2, y+1) \end{equation} Encuentre la línea de flotación de $\textbf{F}$ que pasa por el punto $(1,1)$ .

Respuesta

Definir \begin{equation} \textbf{r}(t) = (x(t), y(t)) \end{equation} entonces \begin{equation} \textbf{r}'(t) = (x'(t), y'(t)) = \textbf{F}(x(t),y(t)) = (x^2(t), y(t)+1) \end{equation} por lo que obtenemos dos ecuaciones diferenciales. A saber: \begin{equation} x'(t) = x^2(t) \mbox{ and } y'(t) = y(t) + 1 \end{equation} Empezamos a resolver \begin{align} y(t) = e^{t} \int e^{-t} dy = e^{t} (-e^{-t} + C) = e^{t}C - 1 \end{align} y \begin{equation} \int \frac{\frac{\partial x(t)}{\partial t}}{x^2(t)} = \int 1 \partial t \end{equation} así que \begin{equation} x(t)= -\frac{1}{t + B} \end{equation} Ahora \begin{equation} \textbf{r}(0) = (x(0), y(0)) = (-\frac{1}{t + B}, e^{t}C - 1) = (1,1) \end{equation} Así que $C = 2$ y $B = -1$ y \begin{equation} \textbf{r}(t) = (x(t), y(t)) = (-\frac{1}{t - 1}, 2e^{t} - 1) \end{equation}

¿Es esto correcto?

Answer 1

Se ve bien, excepto el último paso en el que se resuelven las constantes. Cuando $t=0$ , deberías tener $${\bf r}(0)=\bigl(\,\textstyle{−1\over 0+B},e^0\cdot C−1\,\bigr)=(1,1)\ \ \Rightarrow \ \ B=−1,\ C=2 \ \ \Rightarrow\ \ {\bf r}(t)=\bigl(\,{-1\over t-1},2e^t−1\,\bigr). $$

Y en una nota exigente, al principio, debería definir ${\bf r}(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)$ , ${\bf r}(0)=(1,1)$ .