La divergencia de un campo vectorial sobre una secuencia de esferas

Question

Estoy estudiando para mis exámenes y me encontré con este problema en el libro "Cálculo Avanzado", escrito por Friedman:

"Considere la posibilidad de una secuencia de esferas $S_n$ $\mathbb{R}^3$ centro $P_n$ y radio de $r_n$, de tal manera que $P_n \to P, r_n \to 0$ $ n \to \infty.$ Deje $\textbf{F}$ ser continuamente un campo vectorial diferenciable en un barrio de $P$. Demostrar que

$$(\nabla \cdot \textbf{F})(P)=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{V_n}\iint\limits_{S_n}\textbf{F}\cdot \textbf{n}\ dS,$$

donde $V_n$ es el volumen de la bola con el límite de $S_n$."

Esto es lo que hice:

Observar que, por el Teorema de la Divergencia,

$$\frac{1}{V_n}\iint\limits_{S_n}\textbf{F}\cdot \textbf{n}\ dS = \frac{1}{V_n}\iiint\limits_{D_n}\nabla\cdot\textbf{F} \ dV,$$

donde $D_n$ es la región delimitada por $S_n$.

Ahora, observe que $\dfrac{1}{V_n}\displaystyle \iiint\limits_{D_n}\nabla\cdot\textbf{F} \ dV$ es el valor de la media de $\nabla \cdot \textbf{F}$$D_n$. Puesto que F es continuamente diferenciable, tenemos que $\nabla \cdot \textbf{F}$ es continuo, de modo que, para cada una de las $n$, $P_n$ tal que $$\frac{1}{V_n} \iiint\limits_{D_n}\nabla\cdot\textbf{F} \ dV = (\nabla \cdot \textbf{F})(P_n)$$

Así,

$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{V_n}\iint\limits_{S_n}\textbf{F}\cdot \textbf{n} \ dS = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{V_n}\iiint\limits_{D_n}\nabla\cdot\textbf{F} \ dV \\ =\lim_{n \to \infty}(\nabla \cdot \textbf{F})(P_n) = (\nabla \cdot \textbf{F})(P),$$

como queríamos.

Tengo dos problemas:

1) no sé cómo demostrar que debido a $\nabla \cdot \textbf{F}$ es continua, tenemos que hay un punto de $P_n$ tal que $\frac{1}{V_n} \iiint\limits_{D_n}\nabla\cdot\textbf{F} \ dV = (\nabla \cdot \textbf{F})(P_n)$. Sé que es cierto porque yo lo vi en algunos cálculos de los libros, pero no he encontrado una prueba.

2) Después de haber terminado, me doy cuenta de que mis puntos de $P_n$ no tienen que ser necesariamente los puntos de $P_n$ centro de $S_n$. Así, porque sé que el radio de $r_n$ $S_n$ 0, puedo asumir que $P$ será el límite de cada secuencia $(a_n)$ tal que $a_k \in S_k$ $\forall k \in \mathbb{N}$?

Yo estaría muy agradecido si alguien me pudiera ayudar con mis preguntas anteriores :) Gracias!

Answer 1

Creo que se pueden encontrar estos puntos de atractivo para el primer valor medio teorema de la integración de las dimensiones superiores. Si desea una prueba plena yo estaría encantado de dar uno. A continuación, observe que, dado que las bolas tienen radios de la disminución de a $0$ y desde $\nabla\cdot F$ es continuo, a continuación, el límite va a lo que usted desea.

En la siguiente prueba nos referimos a un conjunto, $A$, como Riemann integrable si la función característica de a $A$ es Riemann integrable.

Lema:(Primer Valor medio Teorema de la Integración) Deje $A\subset\mathbb{R}^{n}$ denotar un compacto, conectado, Riemann integrable conjunto. Deje $f:A\to\mathbb{R}$ ser una función continua. Deje $g:A\to\mathbb{R}$ ser no negativo y Riemann integrable. Entonces existe $c\in A$ tal forma que:

$$\int_{A}f(x)g(x)dx=f(c)\int_{A}g(x)dx$$

Prueba: Si $\int_{A}g(x)=0$ $g=0$ en casi todas partes. Por lo tanto, $fg=0$ casi everwhere. Por lo tanto, $\int_{A}f(x)g(x)dx=0$. Podemos optar $c$ arbitrariamente en este caso, para llegar por encima de la igualdad. Ahora podemos suponer $\int_{A}g(x)dx>0$. Desde $A$ es compacto y $f$ es continua entonces no existe $a\in A$ $b\in A$ tal forma que:

$$f(a)\le f(x)\le f(b)$$

para todos los $x\in A$. Desde $g$ es no negativo, tenemos:

$$f(a)g(x)\le f(x)g(x)\le f(b)g(x)$$

y, finalmente, la integración de más de $A$ nos dice que:

$$f(a)\int_{A}g(x)dx\le\int_{A}f(x)g(x)dx\le f(b)\int_{A}g(x)dx$$

Por lo $f(a)\le\frac{\int_{A}f(x)g(x)dx}{\int_{A}g(x)dx}\le f(b)$. Desde $f$ es continua y $A$ está conectado, a continuación, $f(A)$ está conectado y por lo tanto no es$c$, de modo que

$$f(c)=\frac{\int_{A}f(x)g(x)dx}{\int_{A}g(x)dx}$$

Para el caso de que usted está interesado en tomar $f=\nabla\cdot F$$g=1$.

Answer 2

La prueba es correcta, con la salvedad de que los puntos de $P_n$ se producen en la prueba no son los centros de las esferas $S_n$.

El valor medio teorema garantiza conectado cuerpo $B$ y función continua $f:\ B\to{\mathbb R}$ un punto de $\xi\in B$ con $$\int\nolimits_Bf(x)\ {\rm d}x=f(\xi)\ {\rm vol}(B)\ .$$ De haber aplicado este principio con $f(x):={\rm div}\,{\bf F}(x)\ .$