Acotando el error en $\textbf{y}' = A\textbf{y}$ con $\textbf{y}(0) = \textbf{y}_0$ utilizando el método Eulers.

Question

En este caso $A$ es una matriz simétrica. Ahora he deducido el límite,

$$||e_n||_2=||\textbf{y}(nh) - \textbf{y}_0||_2\leq||y_0||_2|(1+h\lambda_M)^n - e^{nh\lambda_M}|$$

donde $\lambda_M = ||A||_2$ . Lo he obtenido acotando el error para $n=1$ y $n=2$ El proceso de aprendizaje de los niños es bastante complejo, pero se puede observar un patrón. Para verificarlo utilicé la inducción. Ahora, eché un vistazo a mi libro de texto y el límite superior es,

$$||e_n||_2\leq||y_0||_2 \max_{\lambda \in \sigma(A)}|(1+h\lambda)^n - e^{nh\lambda}| \quad (**)$$ donde $\sigma(A)$ es el conjunto de valores propios de $A$ , este es un resultado diferente pero espero poder relacionarlos. Me gustaría decir que $$|(1+h\lambda_M)^n - e^{nh\lambda_M}| \leq \max_{\lambda \in \sigma(A)}|(1+h\lambda)^n - e^{nh\lambda}|$$

Sin embargo, estoy teniendo problemas para establecer esto como $\lambda_M$ es un valor absoluto de un valor propio y por tanto no es necesariamente un valor propio.

EDITAR:

Tal vez no puedan relacionarse como he preguntado. Parece que no puedo derivar $(**)$ ¡directamente!

Answer 1

Se obtiene que el vector de diferencia es $$ {\bf y}(nh)-{\bf y}_n=e^{nh{\bf A}}{\bf y}_0-(I+h{\bf A})^n{\bf y}_0=f({\bf A}){\bf y}_0 $$ Como con todas las funciones analíticas, si el dominio de convergencia de $f$ incluye el espectro de $A$ entonces el espectro de $f(A)$ es la imagen bajo $f$ del espectro de $A$ .

En el caso de una matriz simétrica $A$ , $f(A)$ también es simétrica y la norma espectral o del operador es igual al radio espectral. Así, $$ \|f({\bf A}){\bf y}_0\|_2\le\|f({\bf A})\|_{op}\,\|{\bf y}_0\|_2=\max_{λ\in σ(A)}|f(λ)|\;\|{\bf y}_0\|_2 $$

Su vínculo sólo es válido si puede garantizar que $A$ es semidefinido positivo y $f$ es monótona, de modo que el máximo en algún intervalo está siempre en el límite.