¿Por qué se hace hincapié en las ecuaciones tensoriales en la RG?

Question

A mi entender, el propósito de utilizar ecuaciones tensoriales en la RG es garantizar que sean verdaderas en todos los sistemas de coordenadas. Entiendo que escribir las ecuaciones tensorialmente asegura que esto será así; sin embargo, ¿no hay ecuaciones no tensoriales que también serían verdaderas en todos los sistemas de coordenadas?

Por ejemplo, se puede definir un tensor por sus componentes y cómo se transforman de un sistema de coordenadas a otro (la ley de transformación del tensor). Me parece que se podría definir alguna otra cantidad que se transforme según otra ley de transformación, y que las ecuaciones escritas en esta cantidad sean también válidas en todos los sistemas de coordenadas.

También he visto que los tensores se definen como objetos geométricos en el colector que actúan como formas lineales en los espacios tangentes y cotangentes en el colector. Esta definición geométrica garantiza inmediatamente la independencia de las coordenadas. De nuevo, no veo por qué no podemos definir un objeto geométrico más general (es decir, no un tensor) y hacer que sea la base de nuestras ecuaciones independientes de coordenadas.

En resumen, ¿por qué se hace hincapié en las ecuaciones tensoriales en la RG cuando me parece que debería haber muchas ecuaciones no tensoriales que también son válidas en todos los sistemas de coordenadas?

EDIT: Como ejemplo, considere algún mapeo arbitrario del espacio tangente a los reales que sea no lineal en los vectores tangentes. Se trata de una definición independiente de las coordenadas. La única diferencia entre estos objetos y los tensores es que, en el caso de los tensores, el mapeo es lineal. Supongo que la no linealidad significa que estos objetos no tendrán "componentes" directos y fácilmente interpretables en cada sistema de coordenadas, pero no veo por qué no podríamos hacer afirmaciones importantes sobre la geometría del espaciotiempo utilizándolos.

Answer 1

Hay objetos independientes de las coordenadas que no son tensores.

Conexiones, densidades, espinores, secciones de haces de fibras en general, etc.

Sin embargo, los tensores son

• relacionados con la geometría de los colectores (contrasta con las secciones de un haz vectorial arbitrario)

• tienen dependencia lineal en las direcciones.

Voy a ilustrar esto con el mismo ejemplo que utiliza Wald en su libro de RG. Imagina un campo magnético $B$ que impregna el espacio. Tienes un detector que mide el campo magnético en la dirección a la que apunta la sonda del detector. ¿Cómo se mide el campo magnético en el punto $x$ ?

Usted elige y graba tres orientaciones de la sonda linealmente independientes. Dado que la sonda probablemente utiliza las mismas unidades en todas las direcciones, y tiene la misma sensibilidad, las tres orientaciones pueden tomarse como vectores unitarios.

Que las tres direcciones sean $e_1,e_2$ y $e_3$ . Se toman las tres medidas, éstas devuelven los valores $$ B_1=B(e_1),\ B_2=B(e_2),\ B_3=B(e_3). $$

Como puedes ver, el campo magnético juega aquí el papel de un covector, en lugar de un vector. A partir de esto, se puede ensamblar el campo magnético como $$ B=B_1 e^1+B_2 e^2+B_3e^3, $$ donde $e^i$ es el elemento de base dual de $e_i$ .

El tensor métrico es $$ g_{ij}=\left(\begin{matrix} 1 && \cos\alpha_{12} && \cos\alpha_{13} \\ \cos{\alpha_{12}} && 1 && \cos{\alpha_{23}} \\ \cos{\alpha_{13}} && \cos{\alpha_{23}} && 1\end{matrix}\right) $$ donde $\alpha_{ij}$ es el ángulo entre $e_i$ y $e_j$ .

El vector del campo magnético viene dado por $\sharp B=g^{1i}B_ie_1+g^{2i}B_ie_2+g^{3i}B_ie_3$ la magnitud viene dada por $||B||=g^{ij}B_iB_j$ etc.

Ahora, si en lugar de tener una dependencia lineal de las direcciones, $B$ era alguna función suave arbitraria $B:T_xM\rightarrow\mathbb{R}$ entonces se necesitaría una cantidad infinita de mediciones (en una cantidad infinita de direcciones) para reconstruirlo en un punto.

Evidentemente, estas magnitudes "dependientes de la dirección" en física se comportan de tal manera que no se necesita una cantidad infinita de mediciones para medirlas en un punto. Si así fuera, ¡la física tal y como la conocemos no existiría! Así que la razón por la que usamos tensores es que la física es medible.

Answer 2

Buena pregunta, y una que no se suele tratar en la literatura física cuando se introduce la ley de transformación tensorial.

Intente visualizarlo geométricamente: tome un ejemplo simple, deformando la superficie de una esfera a un elipsoide; si tomamos un pequeño (es decir, infinitesimal) parche de la bola y vemos cómo se transforma vemos que hay un multilineal Este ejemplo se puede generalizar a variedades arbitrarias en cualquier espacio cartesiano, y también podemos, con un poco de reflexión, dejar de lado la incrustación.

Una transformación multilineal se caracteriza universalmente por los tensores, y luego al tomar las bases obtenemos la propiedad habitual de transformación de coordenadas que caracteriza a los tensores comunes en la literatura de la física.

La mejor referencia que he visto para esto es el libro de Lees sobre Geometría Diferencial, y la Geometría Tensorial de Dodsons, aunque tiende a utilizar una terminología idiosincrásica.

Answer 3

Los tensores por sí mismos no aseguran que una fórmula sea correcta en todos los sistemas de coordenadas. Las ecuaciones de Navier-Stokes, por ejemplo, pueden escribirse en forma de tensor pero no son independientes de las coordenadas. Lo que se necesita, de hecho, es la propiedad de la derivada covariante. La forma tensorial, en cambio, es necesaria para describir las tensiones en una superficie. Para describir la tensión de corte en una superficie, por ejemplo, se necesita un vector situado en la superficie para describir la fuerza en esa superficie con magnitud y dirección. Pero también se necesita otro vector para describir la posición y la orientación de la propia superficie, de ahí los dos índices del tensor de segundo rango.