Si $(a_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq[0,\infty)$ ¿Qué tenemos que concluir? $\sum\limits_{k=n+1}^\infty a_k\to0$ cuando $n\to\infty$ ?

Question

Dejemos que $(a_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq[0,\infty)$ . Desde $\left(\sum_{k=1}^na_k\right)_{k\in\mathbb N}$ está aumentando, $$a:=\sum_{k=1}^\infty a_k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^na_k=\sup_{n\in\mathbb N}\sum_{k=1}^na_k\in[0,\infty]\;.$$

Quiero concluir $$\sum_{k=n+1}^\infty a_k\xrightarrow{n\to\infty}0\;.\tag1$$

Deberíamos tener \begin{equation}\begin{split}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=n+1}^\infty a_k&=\lim_{n\to\infty}\lim_{N\to\infty}\sum_{k=n+1}^Na_k\\&=\lim_{n\to\infty}\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{k=1}^Na_k-\sum_{k=1}^na_k\right)\\&=\lim_{n\to\infty}\left(a-\sum_{k=1}^na_k\right)=a-a=0\;.\end{split}\tag2\end{equation} Quiero subrayar que no creo que haya ningún problema incluso cuando $a=\infty$ (ya que $\infty-\infty=0$ ). Sin embargo, en cualquier prueba en la que haya visto cosas como $(1)$ el autor concluye $(1)$ al señalar que $a<\infty$ . Entonces, ¿qué me falta?

Answer 1

Prueba de convergencia de Cauchy es un teorema de clase iff. Como resultado ( $a_n\geq0, \forall n$ , esto se da):

• Si $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k < \infty \Rightarrow \forall \varepsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}: 0<\left|\sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_k\right|=\sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_k<\varepsilon$ para $\forall n>N$ y $\forall p\geq 1$ . Entonces $$\lim\limits_{p\rightarrow \infty} \sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_k \leq \varepsilon$$ De hecho, podemos empezar con $\frac{\varepsilon}{2}$ y concluye $$\lim\limits_{p\rightarrow \infty} \sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_k \leq \frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon$$ por lo que concluimos que $\forall \varepsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}: 0<\sum\limits_{k=n+1}^{\infty} a_k<\varepsilon$ para $\forall n>N$ , lo que significa que $$\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k < \infty \Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sum\limits_{k=n+1}^{\infty} a_k=0$$

• $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sum\limits_{k=n+1}^{\infty} a_k=0 \Rightarrow \forall \varepsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}: 0<\sum\limits_{k=n+1}^{\infty} a_k<\varepsilon$ para $\forall n>N$ . Pero $$0<\sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_k <\sum\limits_{k=n+1}^{\infty} a_k< \varepsilon$$ para $\forall n>N$ y $\forall p\geq 1$ , lo que significa que $$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sum\limits_{k=n+1}^{\infty} a_k=0 \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k < \infty$$

En conjunto $$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sum\limits_{k=n+1}^{\infty} a_k=0 \Leftrightarrow \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k < \infty$$ esa es la respuesta a lo que tenemos que concluir ...