$∀n \in ℤ, p \in primes: n^2 \equiv 1 (\text{mod }p) \implies n \equiv 1 (\text{mod }p) \vee n \equiv −1 (\text{mod }p)$

Question

Tengo el siguiente lema que debo demostrar.

$∀n \in ℤ, p \in primes: n^2 \equiv 1 (\text{mod }p) \implies n \equiv 1 (\text{mod }p) \vee n \equiv −1 (\text{mod }p)$

Puedo ver que intuitivamente esto es cierto. Creo que tal vez la división en casos Impares y pares puede ser útil, debido a la disyunción.

Dejemos que $n$ estar en paz $\implies ∃k \in ℤ: n = 2k$
Dejemos que $n$ ser impar $\implies ∃k \in ℤ: n = 2k + 1$

Pero, lo que he intentado después de esto no me ha llevado a ningún sitio útil, así que ni siquiera estoy seguro de que este sea el enfoque correcto.

¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Si $n^2 \equiv 1 \pmod{p}$ entonces $p$ divide $n^2-1 = (n-1)(n+1)$ , por lo que debe dividir o bien $n-1$ o $n+1$ .

Answer 2

Así:

con

$n^2 \equiv 1 \mod p, \tag 1$

tenemos

$(n - 1)(n + 1) \equiv n^2 - 1 \equiv 0 \mod p; \tag 2$

ya que los enteros módulo $p$ forman un campo, de hecho el campo

$\Bbb Z_p = \Bbb Z/(p), \tag 3$

(2) da como resultado inmediato

$n - 1 \equiv 0 \mod p \; \text{or} \; n + 1 \equiv 0 \mod p, \tag 4$

es decir

$n \equiv 1 \mod p \; \text{or} \; n \equiv -1 \mod p, \tag 4$

$OE\Delta$ .