dual de la gavilla localmente libre

Question

Para simplificar, supongamos que todas las cosas ocurren en una variante proyectiva suave $X$ .

Haz doble del haz de líneas dado $\mathcal L$ se determina por $\mathcal L$ y $c_1(\mathcal L)$ .

$\mathcal L^*= \mathcal L (-2c_1(\mathcal L)) $

Mi pregunta es, ¿hay alguna relación similar entre un haz vectorial de rango >1 y su dual? ¿Se puede describir el haz vectorial dual como una combinación del haz original y sus datos (por ejemplo, las clases de Chern)? Incluso para un caso de rango 2, no tengo ni idea de este problema.

Si tienes uno, por favor, dame alguna prueba corta o un boceto. También es muy preferible una buena referencia. Agradezco cualquier ayuda.

Answer 1

Si $E$ es localmente libre de rango 2 entonces $E^* \cong E(-c_1(E))$ . El isomorfismo es inducido por el emparejamiento no degenerado $E\otimes E \to \Lambda^2E \cong O(c_1(E))$ . Para un rango superior se puede comprobar que en general $E^*$ no es un giro de $E$ .