1 votos

Decidir la solución $f$ a la ecuación parcial diferente $x\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}=0$

Así que quiero decidir la solución $f$ que resuelve la ecuación diferencial parcial $$x\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}=0$$ donde $f=e^{-2y}$ cuando $x=1$ y donde introducimos $u=xe^{y}$ y $v=xe^{-y}$ .

Mi intento de solución:

Tengo mis sustituciones variables ya incluidas $u=xe^{y}$ y $v=xe^{-y}$ . Me sale

$$f(x,y)=g(xe^{y}).$$

Estoy teniendo algunas complicaciones para encontrar la función que también satisface la condición.

Desde $f(x,y)=g(xe^{y})$ entonces $f(x,0)=g(x)$ Ahora siento que quiero poner $g(x)=e^{-2y}.$ Pero también creo que eso podría ser incorrecto.

¿Cómo debo razonar a la hora de resolver este problema?

1voto

ILIV Puntos 421

Hay una errata o un error de cálculo. La solución general de la EDP no es $f(x,y)=g(xe^y)$ pero es : $$f(x,y)=g(xe^{-y})$$ donde $g$ es una función arbitraria.

La función $g$ debe determinarse según la condición $f(1,y)=e^{-2y}$

$f(1,y)=g(e^{-y})=e^{-2y}$

Dejemos que $X=e^{-y}\quad;\quad y=-\ln|X|$

$$g(X)=e^{-2y}=e^{-2(-\ln|X|)}=X^2$$ Ahora la función $g(X)$ es conocido $$g(X)=X^2$$ Lo ponemos en la solución general anterior donde $X=xe^{-y}$ $$f(x,y)=\left(xe^{-y}\right)^2$$ $$\boxed{f(x,y)=x^2e^{-2y}}$$

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X