Homomorfismo de anillo inyectivo en $A/I\cap J \rightarrow A/I\times A/J$

Question

Supongamos que $A$ es un anillo con ideales propios $I$ y $J$ . He mostrado la función $\theta:A\rightarrow A/I\times A/J$ dado por $\theta(x) = (x+I,x+J)$ es un homomorfismo de anillo con núcleo $\ker \theta = I\cap J$ . El Primer Teorema del Isomorfismo me da que

$$A/\ker\theta = A/I\cap J \cong \text{im }\theta. $$

Me piden que defina un homomorfismo de anillo inyectivo $A/I\cap J \rightarrow A/I\times A/J$ . Sin embargo, no tengo una idea clara de lo que $\text{im }\theta$ se supone que es. Parece que no es necesariamente igual al codominio de $\theta$ y estoy teniendo un verdadero bloqueo mental sobre qué hacer a continuación.

Gracias.

Answer 1

El homomorfismo $\theta$ no tiene por qué ser siempre suryente. Por ejemplo, dejemos que $A = \mathbb{Z}, I = 2\mathbb{Z}, J = 4\mathbb{Z}$ . Entonces $A/(I \cap J) = \mathbb{Z}_4,$ donde como $A/I \times A/J = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$ . Si los ideales $I$ y $J$ son comaximales, es decir, si $I + J = A$ entonces $\theta$ es suryente.

Pero el mapa inducido $\overline{\theta} : A/(I \cap J) \rightarrow A/I \times A/J$ es siempre inyectiva. Para ello no se necesita $\theta$ para que sea sobreyectiva.