$\sum_{k=1}^{100}k\cdot 2^k\geq 99\cdot 2^{101}$ ¿Cómo se resuelve geométricamente?

Question

He logrado demostrarlo usando inducción, pero me preguntaba si existe una solución más bonita, tal vez demostrandolo geométricamente con áreas de rectángulos u otra manera.

Answer 1

$$\sum_{k=1}^{100}k2^k=2\left(\sum_{k=1}^{100}x^k\right)'_{x=2}=2\left(\frac{x^{101}-x}{x-1}\right)'_{x=2}=2\cdot\frac{101\cdot2^{100}-1-2^{101}+2}{(2-1)^2}>99\cdot2^{101}.$$

$$\sum_{k=1}^{100}k2^k=2\left(\sum_{k=1}^{100}x^k\right)'_{x=2}=2\left(\frac{x^{101}-x}{x-1}\right)'_{x=2}=2\cdot\frac{101\cdot2^{100}-1-2^{101}+2}{(2-1)^2}>99\cdot2^{101}.$$

Answer 2

Dobla y resta, luego repite:

Si $S=\sum\limits_{k=1}^{100}k\cdot 2^k$

entonces $2S=\sum\limits_{k=1}^{100}k\cdot 2^{k+1} =\sum\limits_{k=2}^{101}(k-1)\cdot 2^{k}$

así que $S=2S-S = 100\cdot2^{101}-2-\sum\limits_{k=2}^{100}2^{k}$

y de manera similar $2S = 200\cdot2^{101}-4-\sum\limits_{k=3}^{101}2^{k}$

entonces ahora $S=2S-S = 100\cdot2^{101} -2 -2^{101}+2^2 = 99\cdot2^{101} +2 $

lo que significa que $S \gt 99\cdot2^{101}$