Pregunta sobre conjuntos medibles

Question

He visto una parte de la prueba en el análisis real de Royden. Sea $O$ sea un conjunto abierto, entonces $O$ es la unión de una colección contable de intervalos abiertos disjuntos ${I_n}$ así que $\sum l(I_n) = m(I_n) < mE + \epsilon/2$ . Por lo tanto, existe N tal que $\sum_{n=N+1}^\infty l(I_n) < \epsilon/2 $ . Me pregunto cómo podemos llegar a la última afirmación. ¿Algún teorema que lo diga?

Answer 1

Es la cola de una serie convergente: como tal, puedes hacerla arbitrariamente pequeña siempre que descartes un número suficiente de términos al principio.

Answer 2

$\sum\limits_{n=1}^\infty l(I_n) = \sum\limits_{n=1}^\infty m(I_n) < m(E) + \epsilon/2 $ implica $\sum\limits_{n=1}^\infty l(I_n)\le m(E)$ . Por lo tanto, $\sum\limits_{n=1}^\infty l(I_n)$ converge. Así, para cada $\epsilon>0$ existe $N\in \mathbb{N}$ tal que $\sum\limits_{n=N+1}^\infty l(I_n)<\dfrac{\epsilon}{2}$ .