Tengo una pregunta muy concreta sobre la existencia de funciones de utilidad ordinales. En muchas fuentes (por ejemplo, Krantz et al. 1971: Foundations of measurement: additive and polynomial representations), se afirma que la condición necesaria y suficiente para la existencia de una función de utilidad ordinal en el caso general es la separabilidad de orden (es decir, la existencia de un subconjunto denso de orden contable).
Dejemos que $A$ sea un conjunto y $\succsim$ sea un orden débil (una relación binaria transitiva y completa) sobre $A$ . $\succ$ denota la relación estricta correspondiente.
La separabilidad del orden se define como sigue: Existe un subconjunto contable $B$ de $A$ tal que para todo $x,z \in A$ tal que $x \succ z$ , hay $y \in B$ tal que $x \succsim y \succsim z$ .
Se sabe que un ordenamiento lexicográfico no admite una función de utilidad de valor real, y hay pruebas que muestran que conduce a una contradicción (como la de Bridges y Mehta), pero al menos las pruebas que he visto no muestran cómo el ordenamiento lexicográfico entra en conflicto con esta definición de separabilidad de orden, o tal vez he pasado algo por alto. En cualquier caso, me gustaría ver cómo el ordenamiento lexicográfico (supuestamente en un conjunto infinito) no satisface la definición anterior de separabilidad de orden, también para entender mejor cómo funciona la separabilidad de orden.
¿Podría alguien ayudarme?
Saludos cordiales,
Janne
