Si $(g,a) \mapsto g \cdot a$ es una acción de $G$ en $A$ y $H \vartriangleleft G$ es $(\overline{g},a) \mapsto g \cdot a$ una acción de $G/H$ en $A$ ?

Question

Estoy aprendiendo sobre las acciones de grupo de Dummit y Foote, y tengo una pregunta sobre la siguiente observación que los autores hacen en la sección 4.1:

En particular, una acción de [un grupo] $G$ en [un conjunto no vacío] $A$ también puede verse como una acción fiel del grupo cociente $G/\ker\varphi$ en $A$ .

Aquí, $\varphi: G \rightarrow S_A$ es la representación de permutación asociada a la acción de $G$ en $A$ es decir $\varphi(g) = \sigma_g$ para todos $g \in G$ donde para cada $g \in G$ el mapa $\sigma_g: A \rightarrow A$ se define por $\sigma_g(a) = g \cdot a$ para todos $a \in A$ .

Mi pregunta : ¿En qué consiste exactamente la acción de $G/\ker \varphi$ en $A$ ?

Mi opinión: Es el mapa $(\overline{g}, a) \mapsto g \cdot a$ para todos $\overline{g} \in G/\ker \varphi$ y todos $a \in A$ ....¿Es esto correcto?

Pregunta de seguimiento : Asumiendo que mi conjetura para la pregunta anterior es correcta (o al menos tiene sentido), hice la siguiente "conjetura" que aún no he visto explícitamente en el texto, y me preguntaba si la conjetura y el argumento son correctos:

Reclamación : Dejemos que $G$ sea un grupo que actúa sobre un conjunto no vacío $A$ (denote la acción por $g \cdot a$ para todos $g \in G$ y $a \in A$ ), y que $H$ sea un subgrupo normal de $G$ . Entonces el mapa de $G/H \times A \rightarrow A$ dado por

$$(\overline{g}, a) \mapsto g \cdot a$$ para todos $\overline{g} \in G/H$ y $a \in A$ es una acción de grupo de $G/H$ en $A$ .

Intento de prueba : Dejemos que $\overline{g_1}, \overline{g_2} \in G/H$ y que $a \in A$ .

0. En primer lugar, queremos demostrar que este mapa está bien definido: ¿Es $\overline{g_1} = \overline{g_2}$ implican que $g_1 \cdot a = g_2 \cdot a$ ? Bueno, $\overline{g_1} = \overline{g_2} \iff g_1 g_2^{-1} \in H$ . De hecho, al observar que $1_G = 1_H \in H$ tenemos $g_1 g_2^{-1} = g_1 1_H g_2^{-1} \in H$ porque $H$ es un subgrupo normal de $G$ .

1. Verificación del primer axioma de una acción de grupo: \begin{align*} \overline{g_1} \cdot (\overline{g_2} \cdot a) &= g_1 \cdot (g_2 \cdot a) && (\text{Defn of action of } G/H \text{ on } A) \\[3pt] &= (g_1 g_2) \cdot a && (\text{Axiom 1 applied to action of $G$ on $A$}) \\[3pt] &= \overline{g_1 g_2} \cdot a. && (\text{Defn of action of } G/H \text{ on } A) \end{align*}

2. Verificación del segundo axioma: \begin{align*} 1_{G/H} \cdot a &= \overline{1_G} \cdot a \\[3pt] &= 1_G \cdot a && (\text{Defn of action of $G/H$ on $A$}) \\[3pt] &= a. && (\text{Axiom 2 applied to action of $G$ on $A$}) \end{align*}

¿Son correctas mi afirmación y mis pruebas? En caso afirmativo, ¿se consideraría esto como la acción "canónica" de $G/H$ en $A$ ?

Answer 1

Su mapa no está bien definido.

Dejemos que $G=S_3$ actuando en $A=\{1,2,3\}$ y que $H=A_3$ .

Entonces $(12)H=(13)H$ pero $(12)\cdot1\ne (13)\cdot1$ .

Answer 2

• Esto es lo que puedes hacer si la acción es transitiva.

La condición que se busca es que $H$ está contenido en el estabilizador de un elemento de $A$ , digamos que $H = G_a$ para algunos $a \in A$ . Tenga en cuenta que $G_{ga} = g G_a g^{-1}$ , de modo que si $H$ es normal, esto es independiente de la elección del elemento $a$ . Entonces es verdadero, de lo contrario es falso.

Por ejemplo, $G$ actúa sobre sí mismo por multiplicación a la izquierda, y esta acción es transitiva. Si $G$ es finito, entonces la acción de $G/H$ también sería transitiva ya que $\overline g e = g$ pero ¿cómo puede la imagen del mapa $(\overline g, e) \mapsto ge$ que es $G$ sea mayor que su dominio $G/H$ ?

Es bien sabido que $A$ es $G$ -(esta noción se define de forma análoga a la multiplicatividad de los homomorfismos de espacios vectoriales) a la acción de $G$ en $G/G_a$ a través de $ga \mapsto g G_a$ . Si $H \le G_a$ Entonces el mapa seguirá estando bien definido y todas las propiedades de la acción se trasladarán. De lo contrario, no estará bien definido.

• Si la acción no es transitiva:

El conjunto $A$ puede ser particionado en las órbitas, y su acción cociente tiene que ser definida en cada órbita. Así que la condición es que para cada órbita $H$ está contenido en el estabilizador de un elemento.