Este es un ejercicio del libro de Conway. Aquí n(;a) es el número de enrollamiento de alrededor de a. No tengo ni idea de cómo encontrar tal curva. A mí me parece que este ejercicio requiere una curva con números arbitrarios... ¿Podría alguien ayudarme a encontrar dicha curva?
Sabemos que cualquier cosa simple fallará - Conway nos dice que el número sinuoso será constante en los componentes conectados del complemento de $\gamma$ . Así que tendremos que buscar algo que corte $\mathbb{C}$ en infinitas piezas.
El pendiente hawaiano me parece una solución - que $\gamma:[0,1]\to \mathbb{C}$ sea la curva tal que $\gamma([1-\frac{1}{2^{t}},1-\frac{1}{2^{t+1}}])$ es el círculo de radio $\frac{1}{2^t}$ partiendo del origen (y, por supuesto, fijando $\gamma(1)=0$ ).
La imagen de la página de Wikipedia es una buena ilustración: https://en.wikipedia.org/wiki/Hawaiian_earring
En efecto, el pendiente corta $\mathbb{C}$ en infinitos trozos (El "exterior" de cada círculo dentro del siguiente más grande). Para obtener un número de enrollamiento de uno, elegimos un punto dentro del círculo más grande pero fuera del segundo más grande. Para obtener un número de enrollamiento de dos, elegimos un punto dentro del segundo círculo más grande pero dentro del tercero, y así sucesivamente.
Así que heurísticamente esto parece funcionar, sólo tenemos que asegurarnos de comprobar cuidadosamente que esta curva es tanto 1.) Continua, y 2.) rectificable. La rectificabilidad está bien - las longitudes de las circunferencias de los círculos se encogen como $\frac{1}{2^t}$ , por lo que su suma de longitudes converge. Te dejo que compruebes la continuidad, pero no está tan mal (cuidado en $s=1$ )
Esto se encarga de $n\in \mathbb{N}$ para obtener números de bobinado negativos, debemos añadirlos al final de $\gamma$ otro pendiente hawaiano que va en la otra dirección, atravesado en el sentido de las agujas del reloj. (La imagen resultante parece un par de gafas).
¿Te suena la siguiente imagen? Básicamente tienes una colección limitada de puntos $(a_i)_{i \in \Bbb Z}$ situado a lo largo de una línea recta, y se dibuja una curva de manera que se enrolle alrededor de cada $a_i$ exactamente $i$ veces. Por supuesto, hay que tener cuidado con la continuidad cerca de los puntos de acumulación del $a_i$ y también hay que tener cuidado con la rectificabilidad, pero controlando el diámetro de los bucles y asegurándose de que disminuyen lo suficientemente rápido con $i$ No se trata de un problema grave.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
