¿Cuál es la derivada de una matriz simétrica inclinada?

Question

Estoy intentando resolver algunos jacobianos y me he encontrado con un problema. Si tengo una función de un vector convirtiéndolo en una matriz simétrica sesgada, como la siguiente, ¿cuál es la derivada $f'$ ?

$$ f(\boldsymbol{\omega}) = \lfloor \boldsymbol{\omega} \, \times \rfloor = \left( \begin{array}{ccc} 0 & -\omega_3 & \omega_2 \\ \omega_3 & 0 & -\omega_1 \\ -\omega_2 & \omega_1 & 0 \end{array} \right) $$

Answer 1

Tiene una función de $\mathbb R^3$ a $M_{33}$ (el conjunto de $3 \times 3$ matrices. Sus tres derivadas parciales son $$ \frac{\partial f}{\partial \omega_1} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \\ \frac{\partial f}{\partial \omega_2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\ \frac{\partial f}{\partial \omega_3} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} . $$

Supongo que podría tratar $M_{33}$ como $\mathbb R^9$ y escriba un $9 \times 3$ matriz, pero ¿realmente sería mejor?

Answer 2

El empleo de la Levi-Civita tensor alterno $\varepsilon$ su función puede escribirse como $$f = \,-\varepsilon\cdot\omega$$ cuya derivada es $$\eqalign{ \frac{\partial f}{\partial \omega} &= \,-\varepsilon\cdot\frac{\partial \omega}{\partial \omega} \cr &= \,-\varepsilon\cdot I \cr &= \,-\varepsilon \cr }$$