enésima derivada de la función $f^{1/2}$

Question

Conozco la siguiente regla de Leibniz $$(fg)^{(n)} = \sum_{k = 0}^n {n\choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}$$ esta fórmula se puede generalizar al producto de $m$ funciones diferenciables $f_1,f_2,\dots,f_m$ $$(f_1f_2\cdots f_m)^{(n)} = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} {n\choose k_1,k_2,\dots,k_m}\prod_{1\leq j\leq m} f_j^{(k_j)}$$ donde $\displaystyle {n\choose k_1,k_2,\dots,k_m}=\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!}.$

Lo cual he podido demostrar por inducción, pero mi pregunta es: ¿Qué pasa si quiero hacer la enésima derivada de $f^{1/2}$ ? Tendrá la siguiente forma

$$(f^{1/2})^{(n)}=\sum a_rf^{1/2-r_0}(f')^{r_1}(f'')^{r_2}\cdots (f^{(n)})^{r_n}\;?$$ donde también $1/2=1/2-r_0+r_1+\dots+r_n$ . Está claro que empiezo a pensar en este caso particular y luego generalizo a un $f^{m/n}$ .

Answer 1

Aquí consideramos el $n$ -derivada de a composición $g\circ f$ de las funciones $f$ y $g$ con $g(x)=x^{\frac{1}{2}}$ . Una fórmula para calcular el $n$ -La derivada de las funciones compuestas se establece como Teorema 8.1 en la obra de H.W. Gould Identidades combinatorias llamado:

Forma Hoppe de la regla de la cadena generalizada .

Dejemos que $D_f$ representan la diferenciación con respecto a $f$ y $f=f(x)$ . Por lo tanto, $D^n_x g(f)$ es el $n$ -derivada de $g$ con respecto a $x$ . Lo siguiente es válido para $n\geq 1$ : $$\begin{align*} D_x^n g(f)=\sum_{k=1}^nD_f^kg(f)\frac{(-1)^k}{k!}\sum_{j=1}^k(-1)^j\binom{k}{j}f^{k-j}D_x^nf^j\tag{1} \end{align*}$$

Obtenemos de (1) con $g(f)=f^{\frac{1}{2}}$ $$\begin{align*} \color{blue}{D_x^nf^{\frac{1}{2}}} &=\sum_{k=1}^nD_f^k f^{\frac{1}{2}}\frac{(-1)^k}{k!}\sum_{j=1}^k(-1)^j\binom{k}{j}f^{k-j}D_x^nf^j\\ &=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}{4^k(2k-1)}\frac{(2k)!}{k!}f^{\frac{1}{2}-k}\frac{(-1)^k}{k!}\\ &\qquad\quad\cdot\sum_{j=1}^k(-1)^j\binom{k}{j}f^{k-j}D_x^nf^j\tag{2}\\ &=\sum_{k=1}^n\frac{1}{4^k(2k-1)}\binom{2k}{k}\sum_{j=1}^k(-1)^{j+1}\binom{k}{j}f^{\frac{1}{2}-j}D_x^nf^j\tag{3}\\ &\,\,\color{blue}{=\sum_{j=1}^nf^{\frac{1}{2}-j}D_x^nf^j\sum_{k=j}^n(-1)^{j+1}\frac{1}{4^k(2k-1)}\binom{2k}{k}\binom{k}{j}}\tag{4} \end{align*}$$

Comentario:

• En (2) calculamos $D_f^k f^{\frac{1}{2}}$ y obtener $$\begin{align*} D_f^kf^{\frac{1}{2}}&=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\cdots\left(\frac{1}{2}-k+1\right)f^{\frac{1}{2}-k}\\ &=\frac{(-1)^{k-1}}{2^k}\,1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-3) f^{\frac{1}{2}-k}\\ &=\frac{(-1)^{k-1}}{2^k(2k-1)}(2k-1)!!f^{\frac{1}{2}-k}\\ &=\frac{(-1)^{k-1}}{2^k(2k-1)}\frac{(2k)!}{(2k)!!}f^{\frac{1}{2}-k}\\ &=\frac{(-1)^{k-1}}{4^k(2k-1)}\frac{(2k)!}{k!}f^{\frac{1}{2}-k} \end{align*}$$

• En (3) hacemos algunas simplificaciones.

• En (4) cambiamos el orden de la suma para reducir el número de términos con el operador de diferenciación.

Comprobación de plausibilidad: $n=2$ : Obtenemos manualmente para $n=2$ mezclando convenientemente el operador diferencial y la notación prima, así como no escribiendo el argumento $x$ . $$\begin{align*} D_x f^{\frac{1}{2}}&=\frac{1}{2}f^{-\frac{1}{2}}f^{\prime}\\ \color{blue}{D_x^2 f^{\frac{1}{2}}}&=\frac{1}{2}D_x\left(f^{-\frac{1}{2}}f^{\prime}\right)\\ &=\frac{1}{2}\left(f^{-\frac{1}{2}}f^{\prime\prime}-\frac{1}{2}f^{-\frac{3}{2}}\left(f^{\prime}\right)^2\right)\\ &\,\,\color{blue}{=\frac{1}{2}f^{-\frac{1}{2}}f^{\prime\prime}-\frac{1}{4}f^{-\frac{3}{2}}\left(f^{\prime}\right)^2}\tag{5} \end{align*}$$ Calculamos la segunda derivada según la fórmula de Hoppes (4) y obtenemos $$\begin{align*} \color{blue}{D_x^2 f^{\frac{1}{2}}} &=\sum_{j=1}^2(-1)^{j+1}f^{\frac{1}{2}-j}D_x^2f^j\sum_{k=j}^2\frac{1}{4^k(2k-1)}\binom{2k}{k}\binom{k}{j}\\ &=f^{-\frac{1}{2}}D_x^2f\sum_{k=1}^2\frac{1}{4^k(2k-1)}\binom{2k}{k}\binom{k}{1}\\ &\qquad-f^{-\frac{3}{2}}D_x^2f^2\sum_{k=2}^2\frac{1}{4^k(2k-1)}\binom{2k}{k}\binom{k}{2}\\ &=f^{-\frac{1}{2}}f^{\prime\prime}\left(\frac{1}{4}\binom{2}{1}\binom{1}{1}+\frac{1}{16\cdot 3}\binom{4}{2}\binom{2}{1}\right)\\ &\qquad -f^{-\frac{3}{2}}D_x^2f^2\left(\frac{1}{16\cdot 3}\binom{4}{2}\binom{2}{2}\right)\\ &=f^{-\frac{1}{2}}f^{\prime\prime}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{8}f^{-\frac{3}{2}}\left(2D_x\left(ff^{\prime}\right)\right)\\ &=\frac{3}{4}f^{-\frac{1}{2}}f^{\prime\prime}-\frac{1}{4}f^{-\frac{3}{2}}\left(\left(f^{\prime}\right)^2+ff^{\prime\prime}\right)\\ &\,\,\color{blue}{=\frac{1}{2}f^{-\frac{1}{2}}f^{\prime\prime}-\frac{1}{4}f^{-\frac{3}{2}}\left(f^{\prime}\right)^2} \end{align*}$$ de acuerdo con (5).