Si $\alpha$ es el ángulo entre dos curvas, hallar $\cos (\alpha)$ en términos de representación paramétrica de las curvas.

Question

Si $\alpha$ es el ángulo entre dos curvas, hallar $\cos (\alpha)$ en términos de representación paramétrica de las curvas. Respuesta en el libro:

¿Esta respuesta es correcta? Me sigue apareciendo un signo menos entre los términos superiores.

Esquema de mi enfoque: Dibujamos una horizontal en el punto de intersección. Por simple geometría el ángulo entre las tangentes es $\alpha=\theta + \phi$ donde $\theta$ y $\phi$ son los ángulos entre los $x$ eje y la tangente a las curvas. Tomando el coseno de ambos lados, y utilizando el hecho de que

$\cos (t)=\pm \frac{\dot{x}}{\sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}}$ y $\sin (t)=\pm \frac{\dot{y}}{\sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}}$ como se indica en el libro para el ángulo $t$ entre $x$ eje y tangente a la curva. Encuentro que siempre obtengo el negativo después de usar la fórmula adicional para $\cos$ después de la expansión.

Answer 1

Supongamos que $$\gamma:\quad u\mapsto{\bf z}(u)=\bigl(x(u),y(u)\bigr)$$ es la representación paramétrica de una curva $\gamma\subset{\mathbb R}^2$ . Entonces, para cualquier valor del parámetro, el vector ${\bf z}'(u)=\bigl(x'(u),y'(u)\bigr)$ , si $\ne{\bf 0}$ es un vector tangente a $\gamma$ en el punto ${\bf z}(u)$ . En el problema que nos ocupa dos curvas $\gamma_1$ , $\gamma_2$ y se supone que para dos valores concretos de los parámetros $u$ , resp. $v$ las curvas se cruzan en un punto común ${\bf z}_1(u)={\bf z}_2(v)$ . Para encontrar el ángulo de intersección tenemos que hacer uso del siguiente hecho:

Dados dos vectores no nulos ${\bf a}$ , ${\bf b}\in{\mathbb R}^n$ el coseno del ángulo encerrado $\alpha$ viene dada por $$\cos\alpha={{\bf a}\cdot{\bf b}\over|{\bf a}|\>|{\bf b}|}\ ,$$ donde el punto denota el producto escalar. Este último se calcula como sigue: $${\bf a}\cdot{\bf b}=\sum_{i=1}^n a_i\,b_i\ .$$ Ahora aplique esto a los dos vectores ${\bf z}_1'(u)$ , $\>{\bf z}_2'(v)$ .