La estructura compleja en una colecta compleja se remonta a lo que se llama llamada estructura CR en cualquier submanifold real de codimensión 1. La estructura inducida en una submanifold de mayor codimensión es una estructura CR si se cumple la condición de no degeneración.
La estructura CR se induce en un real arbitrario Submanifolds CR $M$ en una variedad compleja $X$ , es decir, submanifolds para los que la intersección $H^{01}$ del paquete $T^{01}X$ de todos $(0,1)$ vectores con el haz de tangentes complejizado $\mathbb C\otimes TM$ de $M$ es de dimensión constante a lo largo de $M$ . En particular, una codimensión real $1$ submanifold, es decir, una hipersuperficie real, es siempre un submanifold CR.
La estructura CR inducida de un submanifold CR se define entonces por ese subfondo de intersección $H^{01}\subset \mathbb C\otimes TM$ . (Equivalentemente, $(1,0)$ se pueden utilizar vectores en lugar de $(0,1)$ pero este último es más conveniente, por ejemplo, en el contexto de la $\bar\partial$ problema).
Nunca he visto que la condición de ser una submanifold CR se llame "condición de no-degeneración", y no lo haría, porque esa condición generalmente no es estable bajo pequeñas perturbaciones. Por ejemplo, una línea compleja dentro de $\mathbb C^2$ es una submanifolda CR que puede ser perturbada en una submanifolda no CR.
La propiedad especial de una codimensión $1$ submanifold es que siempre es un submanifold CR. No ocurre lo mismo en general con los submanifolds de mayor codimensión.
Es posible describir estas estructuras intrínsecamente, sin referencia a una incrustación.
Sí, una estructura CR en una múltiple real $M$ está definido por cualquier subfondo complejo $V=H^{01}$ de la complejización $\mathbb C\otimes TM$ Satisfaciendo a $V\cap \bar V=\{0\}$ y la integrabilidad $[V, V]\subset V$ . Si sólo se asume la primera condición, $V$ define un estructura casi CR . También está el intermedio integrabilidad parcial condición $[V, V]\subset V\oplus \bar V$ .
De forma equivalente, se puede definir una estructura casi CR sin complejización, mediante un par $(H,J)$ de un subfondo real $H\subset TM$ y una estructura compleja $J\colon H\to H$ , Para más detalles, véase, por ejemplo, esta respuesta . Sin embargo, la condición de integrabilidad $[V, V]\subset V$ se vuelve más verboso, cuando se escribe en términos de $H$ y $J$ .
El Codimensión CR de una estructura casi CR se define intrínsecamente como la codimensión compleja de $H^{10}\oplus H^{01}$ en $\mathbb C\otimes TM$ o, lo que es lo mismo, la codimensión real de $H$ en $TM$ , donde $H = (H^{10}\oplus H^{01}) \cap TM$ y $H^{10}=\overline{H^{01}}$ .
- ¿CR significa Cauchy-Riemann, o qué?
Es la abreviatura de Cauchy-Riemann y de Complejo-Real.
- ¿Qué tipo de invariantes locales tienen las variedades CR? ¿Hay coordenadas alrededor de cada punto que se parecen a un hiperplano real en C^n? O puede haber alguna curvatura o algo así.
El invariante de menor orden, la forma de Levi, es de segundo orden. Es posible elegir coordenadas locales, los únicos términos de 2º orden son los de la forma de Levi.
A diferencia de las estructuras complejas (correspondientes a estructuras CR de codimensión CR $0$ ), para una estructura CR general de codimensión CR positiva, existen infinitas invariantes locales de orden superior.
Véase, por ejemplo mi artículo, Normal forms for almost non-integrable CR structures, Amer. J. of Math., 134 (2012), no. 4, 915-947 También disponible en arxiv.org , para una forma normal intrínseca completa, incluyendo el caso no integrable.
- ¿Pueden existir familias continuas de estructuras CR en una determinada variedad? Si la variedad es compacta, ¿pueden estas familias (mod difeomorfismo) ser infinitas dimensiones?
Sí, véase más arriba. Además, las familias de infinitas dimensiones de los no-equivalentes de CR CR pueden obtenerse incluso localmente utilizando la forma normal de Chern-Moser o la conexión de Cartan, véase, por ejemplo
Chern, S. S.; Moser, J. K. Real hypersurfaces in complex manifolds. Acta Math. 133 (1974), 219-271
- Tengo la impresión, sólo por las publicaciones en arxiv y los títulos de los seminarios, de que la la geometría de la RC se estudia más en el análisis que en campos geométricos más suaves. campos geométricos más suaves. Es esto cierto, y si es así, ¿a qué se debe?
En este libro se pueden encontrar estructuras CR tanto de análisis como de geometría "más suave", como estructuras CR compatibles con estructuras de contacto, estructuras CR rellenables, etc:
MR3012475 Cieliebak, Kai; Eliashberg, Yakov. De Stein a Weinstein y viceversa. Symplectic geometry of affine complex manifolds. American Mathematical Society Colloquium Publications, 59. American Mathematical Society, Providence, RI, 2012.
