Cálculo 3 explicado

Question

Estoy tratando de aprender algo de cálculo 3 y entiendo CÓMO para hacer los problemas pero no entiendo POR QUÉ Estoy haciendo lo que estoy haciendo. Así que ¿alguien tiene alguna buena recomendación sobre libros que sean realmente con los pies en la tierra, y explicar los conceptos en términos que los humanos puedan entender. Estos son los temas que quiero entender:

A. Calculation of Geometric Quantities
   1) Surface Area
   2) Arc Length
   3) Curvature of Paths
      a) velocity
      b) speed
      c) acceleration
         i. tangential component
         ii. normal component
B. Line integrals of vector fields
   1) fundamental theorem of line integrals
   2) green's theorem
   3) finding the underlying scalar field for a conservative vector field
   4) direct calculation of a line integral

Answer 1

En general, se acepta que la ciencia proporciona una descripción de "CÓMO" funciona la naturaleza, no de "POR QUÉ" funciona así. Las matemáticas suelen proporcionar conceptos "superiores" que permiten a la ciencia hacer estas descripciones con precisión. Por "superiores" entendemos "generalizados mediante el uso de razonamientos abstractos".

Comprender las cuestiones del "POR QUÉ" suele implicar el desarrollo y la aplicación de conceptos aún más elevados, como la motivación, el propósito y la intención, que están más allá del alcance incluso de las matemáticas.

Si quieres entender "POR QUÉ" se enseñan ciertos temas en el plan de estudios de matemáticas, podría ser útil intentar comprender dónde se utilizan algunos de estos temas matemáticos en la práctica. Para ello, puede ser útil un libro de Física de la Ingeniería, como "Física para científicos e ingenieros", de Serway.

Los temas de la parte A son realmente fundamentales para la física y la mecánica de la ingeniería (tanto estática como dinámica). Por ejemplo, la superficie es importante para calcular la tensión en los componentes mecánicos, así como las tensiones y deformaciones de los materiales de ingeniería (por ejemplo: ¿cuántos tornillos de qué tamaño se necesitan para sostener un puente?)

Los temas de la parte B también son fundamentales para la física, especialmente la hidrodinámica y la electrodinámica. Aunque estos temas se tratan a nivel básico en el texto anterior, también sería útil un texto más especializado sobre cualquiera de ellos (por ejemplo: Hydrodynamics de Horace Lamb o Engineering Electrodynamics de William Hayt).

Las Conferencias sobre Física de Feynman (partes 1 y 2) también pueden ofrecerle algunas ideas sobre la sutil conexión entre la física y las matemáticas al dar algunas aplicaciones prácticas de estos temas matemáticos.

Una discusión fascinante sobre la relación entre la física y las matemáticas puede encontrarse en el "Carácter de la ley física" de Feynman, que también está disponible como una serie de seis vídeos en línea en Microsoft Research bajo el "Proyecto Tuva" (véase http://research.microsoft.com/apps/tools/tuva/index.html ). En concreto, consulte la lección 2: "La relación entre las matemáticas y la física".