Según la Wikipedia y algunos periódicos:
Álgebra exterior = Álgebra de Grassmann (= formas diferenciales, ya que son una construcción del álgebra exterior) (=derivaciones, ya que las derivaciones son sólo una posible construcción del objeto dual a las formas diferenciales).
EDITAR: Para precisar la afirmación de que "álgebra exterior=formas diferenciales", ya que tal y como está formulada no es exacta/precisa, hacer notar el hecho de que, como señala @user349357, "el álgebra de las formas diferenciales puede verse también como un álgebra exterior (tomada sobre $C^{\infty}$ ) de las formas 1".
Además, podemos hacer notar el hecho de que para el álgebra geométrica (sobre $\mathbb{R}^n$ ) existe una incrustación natural del álgebra exterior (sobre $\mathbb{R}^n$ ) dentro de ella, por lo que deberíamos esperar que, encontrando una identificación adecuada de vectores 1 y formas 1, deberíamos ser capaces de identificar las formas diferenciales sobre $\mathbb{R}^n$ con una incrustación dentro del álgebra geométrica sobre $\mathbb{R}^n$ David Hestenes ha dado una descripción más completa de este proceso, que se encuentra aquí . /EDIT
El álgebra multilineal contiene formas diferenciales como un caso especial, por lo que el exterior=álgebra de Grassmann=producto exterior/de arista están contenidos en el álgebra multilineal.
Las formas cuadráticas son sólo un caso especial de las formas bilineales, que son un caso especial del álgebra multilineal.
Las formas cuadráticas son también un tipo especial de tensor, que es un tipo especial de álgebra tensorial.
Tanto los productos internos como los externos son tipos especiales de operaciones que abarcan las álgebras geométricas.
Los números reales, los números complejos, los cuaterniones, los espinores y los rotores son sólo objetos de un álgebra geométrica real. Los espinores son el subálgebra de grado par del álgebra geométrica, creo.
EDITAR: Los octoniones son un álgebra no asociativa sobre los reales, mientras que toda álgebra de Clifford es un álgebra asociativa por definición. Por lo tanto, los octoniones no pueden incluirse ni en el marco del álgebra geométrica ni en el del álgebra de Clifford más general. De hecho, los octoniones son el primero álgebras de división real no asociativas (siendo las álgebras de división real asociativas los reales, los números complejos y los cuaterniones, todos los cuales encajan en el marco del álgebra geométrica). /EDIT
Un álgebra de Clifford es un álgebra que relaciona un espacio vectorial sobre cualquier tipo de campo con algún tipo de forma cuadrática. (Esto es CLARAMENTE más general que lo que escribió Clifford en el siglo XIX, que en mi opinión es un nombre completamente equivocado que sólo sirve para confundir a los no iniciados).
Un álgebra geométrica no es más que un tipo especial de álgebra de Clifford, cualquier Clifford de un espacio vectorial sobre los números reales.
También parece que todo multivector es un tensor, pero no al revés. Véase ¿cuál es la relación entre tensor y multivector? . Estos dos documentos (1) (2) dan explicaciones detalladas de cómo representar algunos multivectores como tensores.
Un álgebra exterior/Grassmann no es más que un álgebra de Clifford que utiliza una forma cuadrática degenerada.
El aspecto de la forma cuadrática de las álgebras de Clifford probablemente esté relacionado de alguna manera con la métrica de Riemann, y la elección de la métrica euclidiana frente a la de Minkowski/Lorentz determina el tipo de geometría que se realiza.
De hecho, creo que la Wikipedia da a entender que las álgebras espaciotemporales no son más que un tipo especial de álgebra geométrica supeditada a la elección correcta de la métrica (la métrica de Minkowski/Lorentz), lo que nos permite utilizarlas para la física relativista, mientras que el álgebra geométrica con la métrica euclidiana nos permite describir la física clásica.
La relación con la métrica riemanniana implícita en las formas cuadráticas que forman parte de las álgebras geométricas/Clifford constituye probablemente su conexión con la geometría diferencial, y probablemente significa que esta última tiene algo que ver con el álgebra de Clifford riemanniana también llamada álgebra de Clifford ortogonal según Wikipedia.
La representación de las formas cuadráticas como matrices simétricas cuadradas también nos permite representar las métricas riemannianas como matrices simétricas cuadradas.
Un álgebra de Clifford es el cociente de un álgebra tensorial.
Además, puesto que las álgebras de Clifford están dotadas de una forma cuadrática, que es un caso especial de una forma bilineal, que es un objeto del álgebra multilineal, y puesto que los espacios vectoriales se describen álgebra lineal que es un caso especial del álgebra multilineal, y puesto que las álgebras de Clifford consisten en una forma cuadrática y un espacio vectorial relacionados de alguna manera, también deben ser un caso especial del álgebra multilineal.
Los objetos duales existen en cualquier marco de álgebra lineal o vectorial, por tanto también en las álgebras geométricas, que generalizan el álgebra lineal/espacios vectoriales/calculo vectorial, y también en el álgebra multilineal, que también generaliza el álgebra lineal.
Dado que las matrices forman parte del álgebra lineal, deben ser un caso especial del álgebra multilineal. Las matrices también proporcionan representaciones de coordenadas para los tensores de rango 2, por lo que deben ser casos especiales del análisis tensorial, que a su vez es un caso especial del álgebra tensorial.
Los pseudoescalares no son más que los objetos duales de los escalares, por lo que son casos especiales de las álgebras exteriores y geométricas, también son equivalentes a los elementos de volumen y, por tanto, a los determinantes, por lo que son un caso especial del álgebra multilineal.
Los bra-kets son sólo vectores y vectores duales y, por lo tanto, se generalizan con las álgebras geométricas (por lo tanto, Clifford y tensor), así como con el álgebra multilineal.
Creo que tanto los covectores como los pseudovectores son simplemente sujetadores (los objetos duales de los vectores), aunque no estoy del todo seguro.
No tengo ni idea de cómo se relacionan las álgebras de Lie con las demás. Sé que están relacionadas con los grupos de Lie, que son generalizaciones de los grupos matriciales, que son casos especiales de las álgebras tensoriales y multilineales como resultado, pero eso es todo lo que sé. La generalización que ofrecen las álgebras de Lie podría ir en una dirección totalmente distinta, por lo que sé.
EDITAR: Parece que la generalización es probable en una dirección diferente, ya que las álgebras de Lie proporcionan muchos ejemplos de álgebras no asociativas, mientras que todas las álgebras de Clifford, y creo que incluso todas las álgebras tensoriales, son asociativas por definición.
Además, como señala @user349357, "cualquier álgebra asociativa da una álgebra de Lie (de forma functorial) tomando conmutadores". Así que aunque las álgebras de Lie no sean necesariamente subálgebras del álgebra tensorial/multilineal, sigue siendo objeto natural de estudio para esas álgebras tanto como lo son los conmutadores. /EDIT
¿Cuál es la diferencia entre las álgebras tensoriales y las álgebras graduales? ¿Son las primeras el caso más sencillo de las segundas? ¿Es el álgebra multilineal también un álgebra graduada?
Además, ¿cuál es la relación entre las álgebras tensoriales y el álgebra multilineal? (ya que me parecen los dos objetos más generales basándome en lo anterior).
EDITAR: El álgebra multilineal es una materia, no un objeto, que estudia los tensores. Un álgebra tensorial es un álgebra graduada que consiste en todos los tensores de todos los órdenes que se generan a partir del espacio vectorial subyacente. En ella son otros tipos de álgebras graduadas, decir que un álgebra es un álgebra graduada sólo significa que es un directo de subespacios indexados por los números naturales, por lo que es más un término descriptivo (adjetivo) que un nombre (sustantivo). Así que, de forma bastante confusa, el álgebra multilineal es esencialmente el estudio de las álgebras tensoriales, porque la palabra "tensor" es sólo una forma elegante de decir "producto tensorial de vectores y/o duales/covectores" (en los casos más simples $n$ -), y los mapas/transformaciones multilineales son las funciones que preservan la estructura y actúan sobre los tensores, de ahí el nombre de álgebra multilineal. (Por ejemplo, el determinante no es más que un mapa multilineal que toma $n$ vectores como argumento). Por lo tanto, el hecho de que las álgebras geométricas y de Clifford se generalicen tanto a las álgebras multilineales como a las álgebras tensoriales no sólo no es problemático y esperable, sino que es esencialmente tautológico. Por tanto, la relación entre todas estas estructuras es en realidad mucho más limpia/simple de lo que cabría temer. /EDIT
Si quiero entender "todos ellos", ¿debo aprender análisis tensorial y álgebra tensorial o álgebra multilineal? ¿Es una generalización de la otra?
EDITAR Parece que la mejor manera de hacerlo sería aprender/entender el álgebra tensorial=multilínea sobre un anillo conmutativo arbitrario, entender cómo considerar las álgebras simétricas y exteriores sobre el mismo anillo como (1) cocientes de esa álgebra tensorial y (2) subálgebras de esa álgebra tensorial. A continuación, aprenda/comprenda cómo las estructuras sobre $\mathbb{R}^n$ ("análisis tensorial") pueden considerarse casos especiales de este marco.
Si los productos exteriores corresponden a álgebras exteriores, ¿los productos interiores corresponden a álgebras simétricas?
EDITAR: Sí, es cierto. Al menos para las álgebras geométricas (que son un tipo de álgebra de Clifford sobre campos con característica cero), los tensores simétricos del álgebra tensorial generada por los reales pueden identificarse de forma natural con los elementos del álgebra simétrica formada por el cociente del álgebra tensorial. El producto simétrico tiene la forma $$vw \mapsto \frac{1}{2} \left( v \otimes w + w \otimes v \right),$$ que es exactamente el producto interior geométrico. Por tanto, para una determinada álgebra tensorial asociativa, la correspondiente álgebra de Clifford generaliza tanto sus álgebras simétricas como las exteriores. Así que la afirmación de que las álgebras de Clifford son más generales que las álgebras de Grassmann es claramente muy cierta. /EDIT
¿Por qué la gente afirma que el álgebra geométrica lo abarca todo cuando es un caso especial de un álgebra de Clifford que es un caso especial del álgebra tensorial así como un caso especial del álgebra multilineal?
EDITAR Normalmente, cuando se hacen estas afirmaciones, la gente sólo se refiere a otras álgebras sobre $\mathbb{R}^n$ de los cuales el álgebra geométrica es un caso especial. Obviamente no es ni podría ser una generalización de los módulos multilineales arbitrarios o de los módulos de Clifford sobre cualquier anillo conmutativo. Cuando se dice que lo subsume "todo" se suele referir sólo al uso de estructuras algebraicas exteriores o simétricas sobre $\mathbb{R}^n$ (por ejemplo, cuaterniones o espinores o productos cruzados), y no todos los tensores arbitrarios sobre $\mathbb{R}^n$ al que claramente no subsume. De hecho, aunque definitivamente no puede existir una incrustación del álgebra tensorial sobre $\mathbb{R}^n$ en el álgebra geométrica sobre $\mathbb{R}^n$ En el caso de la tecnología, es de suponer que podría existir una incrustación en la dirección opuesta, aunque es posible que no exista ninguna opción "natural" o "canónica" para dicha incrustación.
Una forma sencilla de expresar lo anterior es que mientras el álgebra geométrica sobre $\mathbb{R}^n$ puede subsumir el álgebra vectorial (sobre el mismo espacio), no no subsume el álgebra de matrices sobre el mismo espacio (aunque aquí debemos tener cuidado, porque se puede decir que subsume algunas subclases especiales de matrices, por ejemplo el uso de matrices ortogonales para representar rotaciones). Véase esta pregunta para más detalles sobre este tema. /EDIT
