Fuerza de Casimir repulsiva entre dos placas

Question

En la literatura, Fuerza de Casimir ha sido explicado usando el método de suma de modos, donde la falta de modos entre las placas de metal dan lugar a una fuerza atractiva, cómo explicamos la repulsión usando esta idea. Algunos argumentarán que diferentes condiciones de contorno darán un signo diferente del efecto Casimir. Pero si miramos en el contexto de la densidad de energía, Casimir es atractivo porque la densidad de energía entre las dos placas es menor comparada con la región exterior o podemos decir en términos de presión de radiación que la presión de radiación exterior es mayor comparada con la presión entre las dos placas. Entonces, si la fuerza de Casimir es repulsiva, ¿qué significa eso físicamente? ¿Cómo la interacción entre dos placas conduce a la fuerza de Casimir repulsiva?

Me gustaría añadir algo más sólo para aclarar la pregunta y mi posición en este tema. Esencialmente, mi comprensión de Casimir se basa por completo en el método de la suma de modos, tal como lo concibe Casimir y la teoría de liftshitz de la fluctuación electromagnética, ya que se trata de cuerpos reales. También he encontrado que este método se ha convertido en un estándar para muchos estudios e incluso se ha encontrado que está en buen acuerdo con los resultados de los experimentos recientes (sólo si excluimos la conductividad finita del dieléctrico e ignoramos el modelo drudo de los metales).

Por eso, cada vez que pienso en el repulsivo Casimiro, me sigue pareciendo misterioso. Un fenómeno que encuentro muy similar a este efecto Casimir, que en realidad es un efecto clásico, es la fuerza entre dos cables conductores, cuando la corriente fluye en la misma dirección se atraen y se oponen cuando el flujo es en la dirección opuesta.Es un fenómeno clásico, pero esencialmente es una interacción electromagnética entre dos cuerpos reales(No tome esta analogía demasiado literal).

Answer 1

La respuesta en resumen es que esta no es una buena manera de pensar en la fuerza de Casimir. Una forma mejor es en términos de trayectorias semiclásicas y si las amplitudes de dispersión difieren por un signo (la fuerza de Casimir está dominada por los fotones que se cruzan con ambas placas). Esto es equivalente a la suma de modos (y de hecho, la ecuación de Lifshitz sólo utiliza matrices de reflexión como una forma de calcular todos los modos del sistema).

Antes de entrar en detalles sobre por qué la reflexión puede dar una intuición de por qué la energía de Casimir puede ser repulsiva, permítanme decir tres métodos equivalentes de calcular la energía de Casimir que cada uno suena superficialmente como una física diferente:

1. Suma de modos, $E_c = \frac12 \sum_n \omega_n$ considerando sólo la energía real del punto cero de cada modo del sistema.
2. Reflexión de fotones y trazado de todos los caminos que puede seguir un fotón. Esto se caracteriza por la ecuación de Lifshitz (para placas paralelas a distancia $L$ ):

$$ E_c \sim \int d^2 q d \omega \, \mathrm{tr}\, \mathrm{ln}[1 - R_{A} R_{B}e^{-q_z L}],$$

donde $R_{A}$ y $R_{B}$ es la matriz de reflexión de la placa $A$ y $B$ respectivamente, y $q$ y $\omega$ son el momento y la frecuencia de los fotones que se intercambian entre las placas.

3. Suma de los diagramas de vacío de la teoría cuántica de campos (véase, por ejemplo, el suplemento de arXiv:1312.6754 ), donde se mantienen sólo los diagramas que intersectan ambos objetos disjuntos (todos los demás no contribuirán a una fuerza):

En detalle:

En primer lugar, hay que tener en cuenta la energía real entre las placas. Lo creas o no, no ha cambiado mucho. Aunque formalmente es divergente, se puede pensar en ella como el primer momento de la densidad de estados

$$E_c = \frac12 \sum_n \omega_n = \frac12\int E \rho(E) dE, $$

donde $\rho(E) = \sum_n \delta(E - E_n)$ . Balian y Bloch (advertencia de paywall) consideró la densidad de estados para un campo libre y un dominio finito y encontró que muy aproximadamente:

$$ \rho(E) \approx Volume*\sqrt{E} \pm Surface + \frac1{\sqrt{E}}*Curvature + \cdots$$

a gran energía. El primer término es justo lo que se obtiene en el espacio libre:

$$ \frac{\rho(E)}{V} = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \delta(E - k^2) = const. * \sqrt{E} $$

Por lo tanto, la energía entre las placas no se modifica significativamente entre las placas (y con respecto a la fuerza de Casimir, el término de superficie y el término de curvatura para las superficies rígidas no cambiarán a medida que las placas se muevan).

Estos términos de volumen, superficie y curvatura se suelen descartar por no contribuir a una fuerza de Casimir (cualquier tipo de regularización suele ser simplemente descartar estos términos que son formalmente divergentes).

Por lo tanto, la diferencia importante viene al pasar a una asintótica más alta en la densidad de estados. En este punto, las trayectorias semiclásicas son las que importan para el cálculo y pueden aumentar o disminuir la densidad de estados (y normalmente la longitud de las trayectorias entra como una proporcionalidad inversa). Para una discusión cuidadosa de las trayectorias semiclásicas y su papel en la repulsión, véase mi artículo: arXiv:0703248 .

Pero en realidad, todo se reduce a la amplitud de un fotón que rebota en ambos placas. Si esa amplitud final es positiva (es decir, la mayoría de los casos, especialmente cuando los materiales son similares) se obtiene una fuerza atractiva y si es negativa se obtiene una fuerza repulsiva. A grandes rasgos, ésta sigue siendo la idea para la 3D con el campo electromagnético.

Por ejemplo, otra forma de encontrar la energía de Casimir entre dos placas A y B es aproximadamente (despreciando muchos términos de orden superior):

Fíjate en que si una de las placas da amplitudes diferentes para los fotones (líneas garabateadas), ¡la energía de Casimir tendrá un signo diferente de cuando son iguales! Y si ahora vuelves a la ecuación de Lifshitz puedes ver que si $R_A R_B < 0$ se puede conseguir la repulsión (la mayoría de los materiales tienen $R_A R_B>0$ ). Este es el mismo principio.

Un detalle que es importante recordar : El signo de la energía de Casimir se corresponde con el signo de la fuerza de Casimir en muchas situaciones, pero hay que tener cuidado de que cuando se considere la repulsión se esté considerando $F_c = -\frac{d E_c}{d L}$ donde $L$ es la longitud entre placas. Esta derivada puede tener un signo diferente al de la propia energía de Casimir.