$\mathsf{ZF}$ define una clase transitiva $M \models \mathsf{ZFC} + \neg\mathsf{CH}$ implica inconsistencia (Teoría de Conjuntos de Kunen, Observación II.6.32)

Question

Esta es la Observación II.6.32 de la Teoría de Conjuntos de Kunen, que me desconcierta:

Supongamos que el trabajo en $\mathsf{ZF}$ (o incluso $\mathsf{ZFC} + V = L$ ), se podría definir una clase propia transitiva $M$ y demostrar que es un modelo para $\mathsf{ZFC} + \neg\mathsf{CH}$ (o incluso sólo $\mathsf{ZF} + V \neq L$ ). Entonces $\mathsf{ZF}$ es incoherente.

Entiendo que la prueba que aportaron, que utiliza la absolutización del rango y $L(\delta)$ . Lo que me confunde es que la propia afirmación parece contradecir de forma muy sencilla el segundo teorema de incompletitud de Godel: si $M \models \mathsf{ZFC} + \neg\mathsf{CH}$ entonces ciertamente $M \models \mathsf{ZF}$ Así que $\mathsf{ZF} \vdash \mathrm{Con}(\mathsf{ZF})$ una contradicción.

¿Hay algún error en mi razonamiento? Gracias de antemano.

Answer 1

La existencia de una clase propia que podamos probar cada axioma relativizado de ZF no demuestra la consistencia de ZF. Para ver lo absurdo de esto, observe que $V$ es una clase propia para la que podemos demostrar cada axioma relativizado... ya que cada axioma relativizado es sólo un axioma que tomamos. Así que si eso bastara para demostrar la consistencia de ZF, estaríamos violando el teorema de Godel desde el principio.

Para demostrar la consistencia de ZF dentro de ZF, necesitaríamos encontrar un modelo que pudiéramos internamente demostrar que todos los axiomas son válidos. En otras palabras, podemos demostrar la cuantificado internamente declaración "para cada axioma $\ulcorner\phi\urcorner$ de ZF, $M\models \ulcorner\phi\urcorner$ ." (Utilizo "esquinas de Quine" para enfatizar que se trata de un código interno para la fórmula como conjunto). Esto es diferente del sentido en este teorema, que es decir para cada axioma $\phi$ de ZF podemos demostrar " $\phi^M$ ."