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Valores posibles de det(A)det(A) y rank(A3×3)rank(A3×3) de un An×nAn×n matriz para la que AA=AAA=A ?

¿Cuáles son todos los valores posibles de det(A)det(A) y rank(A3×3)rank(A3×3) de un An×nAn×n matriz para la que AA=AAA=A ?

Parece fácil, pero me di cuenta de que esto no sólo se aplica a todas las matrices de identidad InIn pero también para todas las matrices cero OnOn . Buscamos todas las matrices para las que AA=AAA=A AAA=OAAA=O AAAIn=OAAAIn=O A(AIn)=OA(AIn)=O Así que parece que A=OA=O o A=InA=In son las únicas. Entonces podemos concluir que como estas dos matrices ya están en la forma escalonada, sus determinantes son iguales al producto de los valores de sus diagonales que son det(On×n)=n0=0det(On×n)=n0=0 det(En)=n1=1det(En)=n1=1 El rango, supongo, sólo puede ser rank(O3×3)=0,rank(O3×3)=0, rank(I3×3)=3.rank(I3×3)=3.

¿Hay alguna matriz que se me haya escapado? No me parece correcto que realmente sólo existan estas dos.

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Michael Isaev Puntos 47

No puedes usar A(AIn)=0A(AIn)=0 para concluir que A=0,A=InA=0,A=In son los sólo soluciones. En términos algebraicos, el anillo de matrices tiene divisores de cero por ejemplo, hay un número diferente a cero de AA y BB para que AB=0AB=0 .

Usted puede Sin embargo, concluyen que: AA=Adet(AA)=det(A)det(A)det(A)=det(A) De modo que, o bien det(A)=0 o det(A)=1 .

Para explorar la cuestión del rango, considere la matriz A que tiene un 1 en la posición superior derecha, y 0 en todos los demás lugares.

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kamills Puntos 213

Utiliza el hecho de que el determinante es multiplicativo:

Si A2=A entonces det(A2)=det(A) pero det(A2)=det(A)2 por lo que esta ecuación nos da det(A)2=det(A)det(A)=0 or det(A)=1 . Esto es válido independientemente del valor de n .

Tienes razón en que dicha matriz debe satisfacer la ecuación A2A=0 o, en otras palabras, su polinomio mínimo es A , AI o A2A .

Si el polinomio mínimo es A entonces la matriz es la matriz cero y tiene rango 0 .

Si el polinomio mínimo es AI entonces la matriz es la matriz identidad, que tiene rango 3 .

Por último, si el polinomio mínimo es A2A entonces A es diagonalizable porque las raíces de este polinomio son distintas. Entonces, como todos los valores propios de A son 0 o 1 , A tiene la forma de Jordan una matriz diagonal con entradas diagonales 0 y 1 . No todos son 0 y no todos 1 , de lo contrario estamos en uno de los casos anteriores. Pero nótese que cualquier otra combinación da como resultado una matriz no nula y no identitaria que satisface A2=A por lo que en este caso el rango puede ser 1 o 2 .

Por lo tanto, no hay ninguna restricción en el rango de 3×3 matrices A tal que A2=A .

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Dattier Puntos 146

Si AIn entonces det(A)=0 porque dejemos B=AIn0 AB=0 así(1) A no es invertible.

(1) : si A invertible entonces A1AB=0 así que B=0 ¡Imposible!

el rango puede ser, 0...n : obtener A=diag(1,..,1,0,..,0)

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