¿Cuáles son todos los valores posibles de det(A)det(A) y rank(A3×3)rank(A3×3) de un An×nAn×n matriz para la que AA=AAA=A ?
Parece fácil, pero me di cuenta de que esto no sólo se aplica a todas las matrices de identidad InIn pero también para todas las matrices cero OnOn . Buscamos todas las matrices para las que AA=AAA=A AA−A=OAA−A=O AA−AIn=OAA−AIn=O A(A−In)=OA(A−In)=O Así que parece que A=OA=O o A=InA=In son las únicas. Entonces podemos concluir que como estas dos matrices ya están en la forma escalonada, sus determinantes son iguales al producto de los valores de sus diagonales que son det(On×n)=n∏0=0det(On×n)=n∏0=0 det(En)=n∏1=1det(En)=n∏1=1 El rango, supongo, sólo puede ser rank(O3×3)=0,rank(O3×3)=0, rank(I3×3)=3.rank(I3×3)=3.
¿Hay alguna matriz que se me haya escapado? No me parece correcto que realmente sólo existan estas dos.