Valores posibles de $\det \left( A \right)$ y $\text{rank}\left( {{A_{3 \times 3}}} \right)$ de un ${A_{n \times n}}$ matriz para la que $A A = A$ ?

Question

¿Cuáles son todos los valores posibles de $\det \left( A \right)$ y $\operatorname{rank}\left( {{A_{3 \times 3}}} \right)$ de un ${A_{n \times n}}$ matriz para la que $A A = A$ ?

Parece fácil, pero me di cuenta de que esto no sólo se aplica a todas las matrices de identidad ${I_n}$ pero también para todas las matrices cero ${O_n}$ . Buscamos todas las matrices para las que $$A A = A$$ $$A A - A = O$$ $$A A - A {I_n} = O$$ $$A \left( {A - {I_n}} \right) = O$$ Así que parece que $A = O$ o $A = {I_n}$ son las únicas. Entonces podemos concluir que como estas dos matrices ya están en la forma escalonada, sus determinantes son iguales al producto de los valores de sus diagonales que son $$\det \left( {{O_{n \times n}}} \right) = \prod\limits_{}^n 0 = 0$$ $$\det \left( {{E_n}} \right) = \prod\limits_{}^n 1 = 1$$ El rango, supongo, sólo puede ser $$\operatorname{rank}\left( {{O_{3 \times 3}}} \right) = 0,$$ $$\operatorname{rank}\left( {{I_{3 \times 3}}} \right) = 3.$$

¿Hay alguna matriz que se me haya escapado? No me parece correcto que realmente sólo existan estas dos.

Answer 1

No puedes usar $A(A - I_n) = 0$ para concluir que $A=0, A=I_n$ son los sólo soluciones. En términos algebraicos, el anillo de matrices tiene divisores de cero por ejemplo, hay un número diferente a cero de $A$ y $B$ para que $AB = 0$ .

Usted puede Sin embargo, concluyen que: $$ AA = A \\ \Rightarrow det(AA) = det(A) \\ \Rightarrow det(A)det(A) = det(A) $$ De modo que, o bien $det(A) = 0$ o $det(A) = 1$ .

Para explorar la cuestión del rango, considere la matriz $A$ que tiene un $1$ en la posición superior derecha, y $0$ en todos los demás lugares.

Answer 2

Utiliza el hecho de que el determinante es multiplicativo:

Si $A^2 = A$ entonces $\det(A^2) = \det(A)$ pero $\det(A^2) = \det(A)^2$ por lo que esta ecuación nos da $\det(A)^2 = \det(A) \implies \det(A) = 0 \text{ or } \det(A) = 1$ . Esto es válido independientemente del valor de $n$ .

Tienes razón en que dicha matriz debe satisfacer la ecuación $A^2 - A = 0$ o, en otras palabras, su polinomio mínimo es $A$ , $A-I$ o $A^2 - A$ .

Si el polinomio mínimo es $A$ entonces la matriz es la matriz cero y tiene rango $0$ .

Si el polinomio mínimo es $A-I$ entonces la matriz es la matriz identidad, que tiene rango $3$ .

Por último, si el polinomio mínimo es $A^2 - A$ entonces $A$ es diagonalizable porque las raíces de este polinomio son distintas. Entonces, como todos los valores propios de $A$ son $0$ o $1$ , $A$ tiene la forma de Jordan una matriz diagonal con entradas diagonales $0$ y $1$ . No todos son $0$ y no todos $1$ , de lo contrario estamos en uno de los casos anteriores. Pero nótese que cualquier otra combinación da como resultado una matriz no nula y no identitaria que satisface $A^2 = A$ por lo que en este caso el rango puede ser $1$ o $2$ .

Por lo tanto, no hay ninguna restricción en el rango de $3\times3$ matrices $A$ tal que $A^2 = A$ .

Answer 3

Si $A \neq I_n$ entonces $det(A)=0$ porque dejemos $B=A-I_n\neq 0$ $AB=0$ así(1) $A$ no es invertible.

(1) : si $A$ invertible entonces $A^{-1}AB=0$ así que $B=0$ ¡Imposible!

el rango puede ser, $0...n$ : obtener $A=diag(1,..,1,0,..,0)$