Me cuesta encontrar el conjunto de todos los $X \in M(n, \mathbb{R})$ tal que $e^{tX^T}Be^{tX} = B$ para todos $t \in \mathbb{R}$ . donde $b$ es cualquier matriz en $M(n, \mathbb{R})$ .
Respuesta
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Una pista: Diferenciar ambos lados de $$e^{tX^T}Be^{tX} = B\tag{1}$$ con respecto a $t$ y evaluar las derivadas en $t=0$ , se obtiene $$X^TB+BX=0.\tag{2}$$ Por lo tanto, todas las soluciones a $(1)$ deben ser soluciones a $(2)$ . A la inversa, utilizando la expansión en serie de potencias de la función exponencial de la matriz, demuestre que siempre que $(2)$ se satisface, $(1)$ también se satisface. Ahora la ecuación $(2)$ se puede reescribir como $$\left[(B^T\otimes I)K+(I\otimes B)\right]\operatorname{vec}(X)=0,\tag{3}$$ donde $\otimes$ denota Producto Kronecker , $\operatorname{vec}(X)$ es el vectorización de $X$ y $K$ es el matriz de conmutación . Así que, en principio, podemos encontrar todas las soluciones a $(1)$ resolviendo el sistema de ecuaciones lineales homogéneas $(3)$ .
