Explicación intuitiva de la función de densidad condicional

Question

Así que la densidad condicional se define de esta manera $f_{X|Y}\left(x,y\right)=\frac{f_{ X,Y }\left(x,y\right)}{f_Y(y)} $ .

Me preguntaba por qué no era simplemente así $f_{X|Y}\left(x,y\right)= f_{ X,Y }\left(x,Y=y\right)$ . En esta función estamos tomando el corte de la función de dos variables a lo largo de la línea Y=y,por lo que lo que obtenemos se parece a una pdf para X cuando Y =y.

Answer 1

Para que sea una densidad de probabilidad, se quiere $\displaystyle \int_x f_{X\mid Y=y}(x) \, dx =1$

Pero $\displaystyle \int_x f_{X,Y}(x,y) \, dx =f_{Y}(y)$ que normalmente no es $1$ ; hay que dividir por $f_{Y}(y)$ para obtener una densidad de probabilidad ya que $\displaystyle\dfrac{1}{f_{Y}(y)} \int_x f_{X,Y}(x,y) \, dx = \int_x \dfrac{f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)} \, dx =1$

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La forma en que recuerdo esto intuitivamente es pensar en esto considerando la variable aleatoria discreta $X$ tomando posibles valores $x_1,x_2,\ldots$ y de forma similar la variable aleatoria discreta $Y$

Ahora tienes $\mathbb{P}(X=x_i, Y=y_j) = \mathbb{P}(X=x_i \mid Y=y_j)\mathbb{P}(Y_j)$ y así $\mathbb{P}(X=x_i \mid Y=y_j)=\dfrac{\mathbb{P}(X=x_i, Y=y_j)}{\mathbb{P}(Y_j)}= \dfrac{\mathbb{P}(X=x_i, Y=y_j)}{\sum_k\mathbb{P}(X=x_k, Y=y_j)}$ y claramente sumando sobre $i$ da un resultado de $1$ como se desee

El resultado de la densidad es similar pero utilizando la integración en lugar de la suma

Answer 2

Prefiero la notación $f_{X\mid Y=y}(x)$ en lugar de $f_{X\mid Y}(x,y)$ porque es una función de una sola variable.

Creo que lo que quieres decir con $f_{X,Y}(x,Y=y)$ es la función $x\mapsto f_{X,Y}(x,y)$ . Si este es el caso, la densidad condicional es esencialmente eso. Excepto por el hecho de que esta función no es una función de densidad. Por eso tenemos la renormalización $f_{Y}(y)$ .

Answer 3

Heurísticamente, la función de densidad condicional puede verse como \begin{align*} f_{X|Y}(x\mid y)&= \frac{d}{dx}\left(\lim_{\delta\rightarrow 0}P(X\le x \mid y \le Y \le y+\delta) \right)\\ &=\frac{d}{dx}\left(\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{P(X\le x,y \le Y \le y+\delta)}{P(y \le Y \le y+\delta)} \right)\\ &=\frac{d}{dx}\left(\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{\int_{-\infty}^x\int_y^{y+\delta} f_{X, Y}(u, v)dudv}{\int_{-\infty}^{\infty}\int_y^{y+\delta} f_{X, Y}(u, v)dudv} \right)\\ &=\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{\int_y^{y+\delta} f_{X, Y}(x, v)dv}{\int_y^{y+\delta} f_Y(v)dv}\\ &=\frac{f_{X, Y}(x, y)}{f_Y(y)}. \end{align*} Noe que esta intepretación es todavía ad-hoc, ya que es posible que $P(y \le Y \le y+\delta)=0$ para ciertos $\delta>0$ .

Formalmente, nótese que, la densidad de la condición es la función $f_{X|Y}(x\mid y)$ tal que, para cualquier conjunto de Borel $C$ , \begin{align*} E(1_{X\in C}\mid Y=y) = \int_C f_{X|Y}(x\mid y) dx. \end{align*} Además, hay que tener en cuenta que la expectativa condicional $$E(1_{X\in C}\mid Y=y)$$ es también una función medible de Borel tal que para cualquier conjunto de Borel $B$ \begin{align*} \int_{Y\in B} 1_{X\in C} dP &= \int_{B}E(1_{X\in C}\mid Y=y) P_Y(dy) \\ &= \int_{B}E(1_{X\in C}\mid Y=y) f_Y(y)dy\\ &= \int_{B}\int_C f_{X|Y}(x\mid y) f_Y(y) dx dy,\tag{1} \end{align*} donde $P_Y(dy)$ es la medida generada por la función de distribución de $Y$ . Por otro lado, \begin{align*} \int_{Y\in B} 1_{X\in C} dP = \int_{B}\int_C f_{X, Y}(x, y) dx dy.\tag{2} \end{align*} Comparación de $(1)$ y $(2)$ vemos que \begin{align*} f_{X|Y}(x\mid y) = \frac{f_{X, Y}(x, y)}{f_Y(y)}. \end{align*}