¿Existe esta figura? $A$ en el avión $E^2$ cuyo grupo de isometría es isomorfo a $\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$

Question

Supongo que no hay tales $A \subset E^2$ que satisfacen $$\text{Iso}(A) \simeq \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$$

Pero estoy atascado en mostrar esto de manera formal. ¿Podemos utilizar aquí el teorema de las isometrías del plano euclidiano para demostrarlo?

Answer 1

Una forma de demostrar esto es probar que el grupo de isometría de $E^2$ ni siquiera contiene un subgrupo isomorfo a $\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$ . Sí, la clasificación de las isometrías euclidianas te ayudará, pero también necesitas conocer algunos subgrupos especiales del grupo de isometrías. En particular, puedes utilizar los siguientes hechos:

• Para todo grupo finito de isometrías $G$ de $E^2$ existe un punto $x \in E^2$ fijado por cada elemento de $G$ .

Así que podemos asumir que su subgrupo $G = \text{Iso}(A) \approx \mathbb Z_2 \oplus \mathbb Z_2 \oplus \mathbb Z_2$ arregla algún punto $x$ .

• El subgrupo $\Gamma_x < E^2$ de todas las isometrías que fija $x$ puede descomponerse como una secuencia exacta corta dividida $$1 \to S^1_x \to \Gamma_x \to \mathbb Z_2 \to 1 $$ donde $S^1_x$ es el grupo circular de rotaciones alrededor de $x$ y una división $\mathbb Z_2 \to \Gamma_x$ viene dada por cualquier reflexión a través de una línea que pasa por $x$ .

Así que, $G$ está contenida en $\Gamma_x$ .

• El subgrupo normal $S^1_x$ contiene una orden única $2$ elemento, es decir, el $180^\circ$ rotación alrededor de $x$ . Ese elemento genera un subgrupo de orden 2 $R_x$ que es un subgrupo normal de $\Gamma_x$ .

Para terminar la prueba consideramos dos casos.

Si $G$ contiene $R_x$ entonces $G \cap S^1_x = R_x$ debido a la unicidad de la orden $2$ elemento en el grupo $S^1_x$ . Se deduce que la imagen homomórfica de $G$ en $\mathbb Z_2$ es isomorfo a $G/R_x$ que tiene orden $4$ .

Mientras que si $G$ no contiene $R_x$ entonces $G \cap S^1_x$ es trivial, por el mismo argumento de unicidad. Se deduce que la imagen homomórfica de $G$ en $\mathbb Z_2$ es isomorfo a $G$ que tiene orden $8$ .

En cualquiera de los dos casos se produce una contradicción: $\mathbb Z_2$ sólo tiene el orden 2.