Si divido un proceso ARMA estacionario en dos partes, ¿también son estacionarias?

Question

Considerando un modelo de media móvil autorregresiva (ARMA), \begin{equation*} y_k = \phi_0 + \sum_{j=1}^{p} \phi_j y_{k-j} + \sum_{l=1}^{q} \theta_l \varepsilon_{k-l}+ \varepsilon_k, \qquad \text{for}\quad k=1,\cdots,n \end{equation*} donde el término de ruido $\varepsilon_k$ sigue la distribución normal, de manera que $\varepsilon_k\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2_{\varepsilon})$ .

Si dividimos el proceso ARMA $\{y_k\}_{k=1}^n$ en dos partes: \begin{equation*} x_k = \phi_0 + \sum_{j=1}^{r} \phi_j y_{k-j} + \sum_{l=1}^{s} \theta_l \varepsilon_{k-l}, \qquad \text{for}\quad k=1,\cdots,n \end{equation*} y \begin{equation*} z_k = \sum_{j=r+1}^{p} \phi_j y_{k-j} + \sum_{l=s+1}^{q} \theta_l \varepsilon_{k-l} + \varepsilon_k, \qquad \text{for}\quad k=1,\cdots,n \end{equation*} donde $1<r<p$ y $1<s<q$ para que $y_k=x_k+z_k$ .

Si el proceso ARMA $\{y_k\}_{k=1}^n$ es estacionario de sentido amplio, puedo decir que ambas secuencias $\{x_k\}_{k=1}^n$ y $\{z_k\}_{k=1}^n$ son estacionarios? ¿Cómo probarlo? ¡Muchas gracias!

Answer 1

No es una respuesta, pero tal vez esté relacionada:

Brockwell y Davis (Introduction to Time Series and Forecasting, 2016), la proposición 2.2.1 dice lo siguiente:

Dejemos que $Z_t$ sea una serie temporal estacionaria con expectativa cero y acf $\gamma_Z$ . Si $\sum_{j=-\infty}^{\infty}|\psi_j|<\infty$ , entonces la serie $$ Y_t=\sum_{j=-\infty}^{\infty}\psi_j Z_{t-j} $$ es estacionario con expectativa $0$ y acf $$ \gamma_Y(h)=\sum_{j=-\infty}^{\infty}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\psi_j\psi_k\gamma_Z(h+k-j). $$

Sin embargo, si uno se limitara a eliminar algunos rezagos, la afirmación no podría probarse.

Por ejemplo, echando un vistazo al "triángulo de estacionariedad" se indica aquí , revelan que $$ Y_t=1.1Y_{t-1}-0.2Y_{t-2}+\epsilon_t $$ es estacionario (en el sentido de admitir una representación causal), mientras que si se omite el segundo retardo y sólo se mantiene el primer retardo explosivo $1.1Y_{t-1}$ claramente no lo es.