Cómo calcular $\int_{\mathbb S^2} e^{-i\left<t,\omega\right>} \, e^{-i\left< A(\omega)x,y\right>} \, d\sigma(\omega)$

Question

Me gustaría calcular lo siguiente $$I_{t,x,y} = \int_{\mathbb S^2} e^{-i\left<t,\omega\right>} \, e^{-i\left< A(\omega)x,y\right>} \, d\sigma(\omega); $$ donde $\mathbb S^2$ es la esfera bidimensional, $t\in \mathbb R^3, \, x,y\in \mathbb R^4$ y $A(.)$ es la matriz dada por $$ A(s_1,s_2,s_3):= \left( \begin{array}{cccc} 0 & s_{1} & s_{2} & s_{3} \\ -s_{1} & 0 & s_{3} & -s_{2} \\ -s_{2} & -s_{3} & 0 & s_{1} \\ -s_{3} & s_{2} & -s_{1}& 0 \end{array} \right)$$ para todos $s_1, s_2, s_3 \in \mathbb R$ .

Answer 1

Se puede obtener la respuesta con medios elementales por cálculo directo.

Definir $A^*(x,y) \in \mathbb{R}^3$ tal que $\langle A(\omega) x, y\rangle = \langle A^*(x,y), \omega \rangle$ . Además, deja que $z = t + A^*(x,y) \in \mathbb{R}^3$ . Ahora, parametriza el $2$ -en las coordenadas esféricas habituales, de manera que el ángulo polar $\theta = 0$ está alineado con $z$ y por lo tanto $\langle z, \omega \rangle = |z| \cos\theta$ : $$ I_{t,x,y} = \int_0^{2\pi}d\phi \int_{-1}^{1} d(\cos\theta) \, e^{-i|z|\cos\theta} = 4\pi \frac{\sin|z|}{|z|} . $$