Desigualdad entre el rango de la matriz y el $\ell_1$ -norma

Question

Dejemos que $B=[b_{ij}]\in M_n(\mathbb C)$ y $b_j$ denotan el $j$ columna de $B$ .

El problema: Demostrar que $$\text{rank} B\geq\sum_{b_j \neq 0} \frac{|b_{jj}|}{\| b_j\|_1}$$ donde $\|b_j\|_1 = \sum_{j=1}^n |b_j|.$

No tengo ninguna idea o enfoque sobre cómo mostrar esta desigualdad. Cualquier ayuda y pista sería muy apreciada.

Answer 1

Esbozo de prueba: Encuentra una matriz invertible y diagonal $D$ tal que todas las columnas de la matriz $M = BD$ tienen $1$ -norma $0$ o $1$ y las entradas diagonales de $M$ son todas no negativas. Obsérvese que el rango de $M$ es igual al rango de $B$ .

Por otro lado, hay que tener en cuenta que $\|M\|_1 \leq 1$ lo que implica que todos los valores propios de $M$ tienen una magnitud máxima de $1$ . Concluir que $$|\operatorname{tr}(M)| \leq \operatorname{rank}(M).$$