Demuestre que en la figura la bisectriz del ángulo se interseca en la perpendicular

Question

La siguiente pregunta fue formulada por un estudiante de secundaria y no pude responderla. Por favor, ayúdeme

En la figura siguiente, demuestre que la bisectriz de $\angle AEB$ y $\angle AFD$ se cruzan en perpendicular

Answer 1

Aquí hay una cifra mejor:

Aquí $ABF, DCF, ADE, BCE$ son colineales, y $PE, PF$ biseca $\angle AEB, \angle AFD$ respectivamente.

Lo tenemos:

\begin{align}180^\circ &= \angle BAE + \angle AEB + \angle EBA \\&= \angle BAE + \angle AEB + \angle AFC + \angle BCF\\&=\angle BCF + 2\angle PEB + 2\angle PFC + \angle BCF\end{align}

Esto demuestra que $\angle BCF + \angle PEB + \angle PFC = 90^\circ$ .

Consideremos ahora el cuadrilátero $PFCE$ y terminará la prueba:

\begin{align}360^\circ &= \angle PFC + \text{reflex}\angle FCE + \angle CEP + \angle EPF\\ &=\angle PFC + (180^\circ + \angle BCF) + \angle BEP + \angle EPF\\ &=180^\circ + 90^\circ + \angle EPF \end{align}

dando $\angle EPF = 90^\circ$ .

Answer 2

Afirmamos que $\triangle FHP \cong \triangle FGP$ . Así que $\angle FPG = \angle FPH$ . Así que $\angle FPE = 90^0$ .

Ahora bien, ¿cómo son congruentes?

$\angle FHP = \angle FAE + \angle AEH$

También, $\angle FGP = \angle DCE + \angle CEP = \angle FAE + \angle AEH$

Así que, $\angle FHP = \angle FGP$ y sabemos $\angle PFH = \angle PFG$ .