Definimos la noción de elementos irreducibles sólo en dominios integrales, así que, sí, $R$ debe ser un dominio integral (aunque no se utiliza realmente la conmutatividad). Aparte de eso, la prueba pasa:
(a) Supongamos $f$ con $\deg f>1$ tiene una raíz $a$ en $R$ . Utilizando la división polinómica (gracias a $X-a$ siendo mónico) tenemos $f(X)=(X-a)g(X)+b$ , encontrar $b=f(a)=0$ y $\deg g>0$ Por lo tanto $f(X)=(X-a)g(X)$ es el producto de dos no unidades, es decir, reducible. Por otra parte, si la monicidad $f$ puede escribirse como producto de dos no unidades, $f=gh$ entonces el producto de los términos principales es igual al término principal $1$ de $f$ . Por lo tanto, tras desplazar un factor constante unitario, tanto $g$ y $h$ puede asumirse como mónico. Como $g,h$ son no unidades no son simplemente la constante $1$ por lo que ambos tienen un grado positivo y $\deg g+\deg h\le 3$ implica que al menos uno de $g,h$ es lineal, es decir, de la forma $X-a$ con $a\in R$ lo que implica que $f(a)=0$ .
(b) Utilizando (a), una raíz de $X^2-a$ es precisamente lo mismo que un testigo que $a$ es un cuadrado.
