El álgebra CAR contiene un unitario con espectro completo

Question

¿Cómo puedo ver que el álgebra UHF $M_{2^\infty}$ contiene un elemento unitario con espectro $\Bbb{T}$ ?

Answer 1

Utilización de las inclusiones naturales $M_2(\mathbb C)\subset M_4(\mathbb C)\subset\cdots\subset M_{2^\infty}$ a través de $$\tag{1} A\longmapsto \begin{bmatrix} A&0\\0&A\end{bmatrix}, $$ construir $$ U_1=\begin{bmatrix} e^{2\pi i 1/2}&0\\0&1\end{bmatrix},\ \ U_2=\begin{bmatrix} e^{2\pi i 1/4} &0&0&0\\ 0 &e^{2\pi i 2/4} &0&0 \\ 0&0& e^{2\pi i 3/4}&0\\ 0&0&0& 1\end{bmatrix}, $$ y $U_k\in M_2^{k}(\mathbb C)$ tiene una diagonal $\{e^{2\pi i r/2^k}\}_{r=1}^{2^k}$ . Utilizando la incrustación $(1)$ se puede comprobar que \begin{align} \|U_{k+1}-U_k\|^2&=\max\{|e^{2\pi i 2r/2^{k+1}}-e^{2\pi i (2r+1)/2^{k+1}} |^2: \ r=1,\ldots,2^{k+1} \}\\ \ \\ &=|1-e^{2\pi i 1/2^{k+1}} |^2={(1-\cos \pi/2^{k})^2+\sin^2\pi/2^k}\\ \ \\ &=2(1-\cos\pi/2^k)=O(2^{-2k}). \end{align} Entonces $$ \|U_{k+\ell}-U_k\|=\|\sum_{j=1}^{\ell}(U_{k+j}-U_{k+j-1})\|\leq\sum_{j=1}^{\ell}\|U_{k+j}-U_{k+j-1}\|\leq c\,\sum_{j=1}^\ell 2^{-k-j}\leq c\,2^{-k+1}. $$ Así que la secuencia $\{U_k\}$ converge a una unidad $U\in M_{2^\infty}$ . Para cada $r,k$ tenemos $\lambda_{k,r}=e^{\pi i r/2^k}\in\sigma(U_m)$ siempre y cuando $m>k$ . Así que $U_m-\lambda_{k,r}I$ no es invertible para todo $m>k$ y su límite $U-\lambda_{k,r}I$ no puede ser invertible (el conjunto de elementos invertibles es abierto, por lo que un elemento invertible no puede ser límite de uno no invertible). Por tanto, $\lambda_{k,r}\in\sigma(U)$ . Como el conjunto $\{\lambda_{k,r}:\ k\in\mathbb N,\ r=1,\ldots,2^k\}$ es denso en $\mathbb T$ concluimos que $\sigma(U)=\mathbb T$ .