Longitud del menor periodo de una secuencia "doble" módulo.

Question

Cuál es la longitud del período más pequeño de la siguiente secuencia $$f[n] = \left< \left< n \right>_N \right>_M$$ donde $\left<n\right>_N$ representa $n \pmod N$ . ¿Existe un término especial para realizar operaciones modulares anidadas?

Para $N$ incluso (digamos 8) y $M = 2$ parece que la secuencia es periódica con longitud 2. Pero para $N$ impar, parece que la menor duración del período es $N$ . Así que esto me lleva a creer que si $N$ es coprima de $M$ entonces la longitud mínima del período es $N$ .

1. ¿Cómo puedo demostrar que esto es cierto?
2. ¿Cómo puedo, en general, calcular el período mínimo para $f[n]$ para casos arbitrarios de $N$ y $M$ ?

Answer 1

Presumiblemente, por $\langle n\rangle_N$ te refieres al resto al dividir $n$ por $N$ Así, por ejemplo, $\langle 5\rangle_6=5$ , $\langle 7\rangle_6=1$ , $\langle 6\rangle_6=0$ (o tal vez quiera $\langle 6\rangle_6=6$ pero no supondrá ninguna diferencia en lo que sigue). A continuación, la secuencia $\langle n\rangle_N$ es $0,1,2,3,\dots,N-2,N-1,0,1,2,\dots$ y tiene el periodo $N$ . De ello se desprende que $\langle\langle n\rangle_N\rangle_M$ tiene un periodo máximo de $N$ . Tiene un periodo inferior a $N$ si, y sólo si, $M$ es un divisor propio de $N$ ya que eso rompe el $0,1,2,\dots,N-1$ en trozos repetidos de longitud $M$ . Así que la respuesta es, el período es $M$ si $M$ es un factor de $N$ de lo contrario, $N$ .