Calcula: $\int _{|z|=1}\text{Re z dz}$ .

Question

Para un círculo unitario orientado positivamente

Calcula: $\int _{|z|=1}\text{Re z dz}$ .

Si $z=x+iy\implies \text{Re z}=x$

Así que $\int _{|z|=1}\text{Re z dz}=\int_{|z|=1} x d(x+iy)=\int _{|z|=1}x dx$ (como dy=0)

$=\frac{x^2}{2}|_0^{2\pi }=2\pi^2$

Pero la respuesta no coincide. Se da como $\pi i$ .

¿En qué me equivoco? Por favor, ayúdenme.

Answer 1

En el círculo unitario $\gamma$ uno tiene $\bar z={1\over z}$ . De ello se desprende que $$\int_\gamma {\rm Re}\,z\>dz={1\over2}\int_\gamma(z+\bar z)\>dz={1\over2}\int_\gamma z\>dz+{1\over2}\int_\gamma{1\over z}\>dz=0+{1\over2}2\pi i=\pi i\ .$$

Answer 2

El problema con su enfoque es que $dy\neq 0$ .

En cambio, si se establece $z=e^{it}$ para $0\leq t\leq 2\pi$ entonces $\Re z=\cos(t)$ y $\frac{dz}{dt}=ie^{it}$ Por lo tanto $$ \int_{|z|=1}\Re z\;dz=\int_0^{2\pi}\cos(t)ie^{it}\;dt=\int_0^{2\pi}[i\cos^2(t)-\cos(t)\sin(t)]\;dt $$

Answer 3

Pensé que podría ser útil presentar un "camino de fuerza bruta". Procediendo, tenemos

$$\begin{align} \oint_{|z|=1}\text{Re}(z)\,dz&=\color{blue}{\oint_{\sqrt{x^2+y^2}=1}x\,dx}+\color{red}{i\oint_{\sqrt{x^2+y^2}=1}x\,dy}\\\\ &=\color{blue}{\int_{1}^{-1} x\,dx+\int_{-1}^1x\,dx}+\color{red}{i\underbrace{\int_{-1}^1\sqrt{1-y^2}\,dy}_{=2\int_0^1\sqrt{1-y^2}\,dy}+i\underbrace{\int_1^{-1}\left(-\sqrt{1-y^2}\right)\,dy}_{=2\int_0^1\sqrt{1-y^2}\,dy}}\\\\ &=\color{blue}{0}+\color{red}{i4\underbrace{\int_0^1\sqrt{1-y^2}\,dy}_{=\pi/4\cdots\text{area of quarter circle}}}\\\\ &=i\pi \end{align}$$

como se esperaba.