Tenemos cinco hexágonos.
Los bordes de cada hexágono se han coloreado con uno de los tres colores al azar.
Si eliges dos hexágonos al azar sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que sean iguales? (La rotación está bien).
Sé que el espacio total o denominador es $3^{2\times6}$ Por lo tanto, tenemos $3^{2\times6}$ en el fondo, pero ¿cuál es el numerador?
La respuesta es $4263$ pero no estoy seguro de cómo conseguirlo.
La parte complicada de esta pregunta está en la afirmación de que todo debe hacerse hasta la rotación . A los efectos de esta respuesta, voy a decir que dos hexágonos son "iguales" si están coloreados en exactamente de la misma manera, y "equivalentes" si son iguales tal vez después de rotar uno de ellos.
En otras palabras: si coloreo mis hexágonos r(ed), g(reen), b(lue), entonces obviamente los seis hexágonos
son diferentes , pero todos equivalente . Mientras que:
es el único de su clase. Nada más es equivalente a él. Así que si necesito un hexágono que sea equivalente a (r, r, r, g, g, b), entonces tengo seis posibilidades de conseguir uno, mientras que si necesito un hexágono equivalente a (r, r, r, r, r, r), entonces sólo tengo un oportunidad.
Esto sugiere que vamos a tener que mirar las simetrías.
Ahora supongamos que tenemos dos hexágonos y sabemos que ambos tienen (por ejemplo) una simetría de 2 pliegues. ¿Cuál es la probabilidad de que sean equivalentes? Bueno, tienes que contar cuántos diferentes hexágonos de doble simetría hay ( $3^3 = 27$ menos el $3$ que son 6 veces simétricas, por lo que $24$ ), y cuántos diferentes de esos son equivalente a una determinada ( $3$ por la simetría). Así que 3/24.
Juntando estas piezas obtendrá la respuesta, y debería ver dónde está el $4263$ viene también. Inténtalo.
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