Encontrar una base para el núcleo de la siguiente transformación lineal: $T(p(x))=p'(x)$ , $T:P_3[\mathbb{R}]\rightarrow P_3[\mathbb{R}]$

Question

Dada la siguiente transformación lineal: $T(p(x))=p'(x)$ , $T:P_3[\mathbb{R}]\rightarrow P_3[\mathbb{R}]$ , encontrar una base y la dimensión del núcleo.

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$Solution.$ \begin{align*} \ker T & =\left\{p( x) \in P_{3}[\mathbb{R}]\Bigl| p'( x) =0\right\} \\ &=\left\{ax^{3} +bx^{2} +cx+d\Bigl| 3ax^{2} +2bx+c=0,a,b,c,d\in \mathbb{R}\right\}\\ & =\left\{ax^{3} +bx^{2} +cx+d\Bigl| c=-3ax^{2} -2bx,a,b,c,d\in \mathbb{R}\right\}\\ & =\left\{ax^{3} +bx^{2} +\left( -3ax^{2} -2bx\right) x+d\Bigl| a,b,d\in \mathbb{R}\right\}\\ & =\left\{a\left( x^{3} -2x^{2}\right) +b\left( x^{2} -2x\right) +d\Bigl| a,b,d\in \mathbb{R}\right\}\\ & =\operatorname{Span}\left\{x^{3} -2x^{2} ,x^{2} -2x,1\right\}\end{align*} Además, los vectores isomorfos a los polinomios son linealmente independientes, se pueden comprobar fácilmente y son fáciles de ver, por lo que son una base para el núcleo. Por lo tanto, $$B_{\ker T} =\left\{x^{3} -2x^{2} ,x^{2} -2x,1\right\} \Longrightarrow \dim\ker T=3$$

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Sin embargo, está claro que esto no es cierto ya que el único polinomio que da $p'(x)=0$ es $p(x)=d$ así que la base es en realidad: $$B_{\ker T} =\left\{1\right\} \Longrightarrow \dim\ker T=1$$

y es fácil de ver.

Tal vez encuentre aquí una base para la $x$ porque no encuentro por qué me salen los polinomios equivocados en la base.

Answer 1

Puedes ver el problema en la línea $$ \left\{ax^{3} +bx^{2} +cx+d\Bigl| c=-3ax^{2} -2bx, \,a,b,c,d\in \mathbb{R}\right\}. $$

Por un lado, usted escribe $c \in \mathbb{R}$ (lo cual es cierto ya que $a,b,c,d$ son los coeficientes del polinomio $p(x)$ ) pero por otro lado, usted escribe $$ (1) \qquad\qquad c =-3ax^{2} -2bx $$ lo que significa que $c \in P_2[\mathbb{R}]$ . ¿Cómo puede ser?

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Estrictamente hablando, escribir $c = -3ax^2 - 2bx$ es un error y una mala idea por lo que no lo recomiendo. Sin embargo, si se insiste en hacerlo, hay una forma de hacerlo riguroso. La única forma de igualdad $(1)$ para que tenga sentido es pensar en $c$ como número real y como polinomio en $P_2[\mathbb{R}]$ . Esto significa que hay que identificar $c \in \mathbb{R}$ con un polinomio constante $$ \hat{c} = c \cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^2$$ y luego la ecuación $ c = -3ax^2 - 2bx$ en realidad significa $$ \hat{c} = -3ax^2 - 2bx \iff 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + c \cdot 1 = (-3a) \cdot x^2 + (-2)\cdot bx + 0 \cdot 1. $$ Utilizando la definición de igualdad de polinomios y comparando los coeficientes, esto significa que $-3a = 0, -2b = 0$ y $c = 0$ así que $a = b = c = 0$ y llegas a la conclusión correcta.