Derivación de la ecuación del cohete

Question

Hace poco decidí repasar las partes de la mecánica clásica que siempre me daban problemas. Una de esas partes era la ecuación del cohete así que he pensado en intentar derivar las ecuaciones apropiadas desde cero. Evidentemente me he encontrado con problemas en alguna parte, así que espero que alguien pueda señalar mis errores y orientarme en la dirección correcta. De todos modos aquí va ...

Supongamos que un cohete expulsa gases de escape detrás de él con velocidad constante (respecto al cohete) $\mathbf{u}$ . Fija un marco de referencia inercial y considera el cohete + el sistema de escape. Si $m_R$ denota la masa instantánea del cohete, entonces el momento del cohete puede escribirse como $m_R\mathbf{v}$ , donde $\mathbf{v}$ es la velocidad instantánea del cohete. El momento del escape debe ser dado por la integral:

$$\int (\mathbf{v}+\mathbf{u})\frac{\mathrm{d}m_E}{\mathrm{d}t} \; \mathrm{d}t$$

donde $m_E$ denota la masa instantánea del escape. Combinando estas expresiones para el momento, llegamos al momento total del sistema:

$$\mathbf{p} = m_R\mathbf{v} + \int (\mathbf{v}+\mathbf{u})\frac{\mathrm{d}m_E}{\mathrm{d}t} \; \mathrm{d}t$$

Ahora, según la 2ª ley del movimiento, la fuerza que actúa sobre el cohete + el sistema de escape se obtiene de $\mathbf{p}$ tomando derivados del tiempo. En otras palabras:

$$\mathbf{F} = \dot{\mathbf{p}} = \frac{\mathrm{d}m_R}{\mathrm{d}t}\mathbf{v}+m_R\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}+(\mathbf{v}+\mathbf{u})\frac{\mathrm{d}m_E}{\mathrm{d}t} = m_R\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} - \frac{\mathrm{d}m_R}{\mathrm{d}t}\mathbf{u}$$

Esta expresión coincide superficialmente con las de mis libros de mecánica de la universidad, pero hay una gran diferencia. En esta expresión $\mathbf{F}$ es la fuerza total que actúa sobre el cohete + el sistema de escape, mientras que en mis textos esta $\mathbf{F}$ es sólo la fuerza que actúa sobre el cohete.

Así que basándome en esto he cometido algún error fundamental en alguna parte de mi argumento. Como pedí antes, si alguien puede ayudarme a identificar este error y corregirlo, le estaría muy agradecido.

Answer 1

No veo ningún error por su parte. La fuerza sobre el cohete debe ser igual a la tasa de cambio de tiempo del momento del cohete sólo por lo que, o bien los textos son engañosos o simplemente están equivocados.

No hay ninguna fuerza externa que actúe sobre el cohete/propulsor sistema por lo que el centro de masa del cohete / sistema de propulsión, en su conjunto, no cambia.

Así:

$m_R \cdot d\mathbf{v} = \mathbf{u} \cdot dm_R$

o

$dv = -u \dfrac{dm_R}{m_R} $

lo que lleva a

$\Delta v = u [\ln(m_{R,i}) - \ln(m_{R,f})] = u \ln\dfrac{m_{R,i}}{m_{R,f}}$