Ejemplo de una categoría sin producto

Question

Una pregunta se ha planteado en nuestra clase acerca de la no existencia de producto en una categoría. Los dos ejemplos que surgieron en la discusión fue el de la categoría de suave colectores con el límite y la categoría de los campos. Pero no puedo formalmente a prueba de por qué categórica producto no existe en estas categorías.

Puedo ver que la categoría de campos finitos no puede tener infinitas productos debido a la cardinalidad de razones, pero me gustaría saber por qué la categoría de campos no puede incluso tener finito de productos.

¿Hay algún otro ejemplo sencillo de una categoría sin (finito) de productos? Cualquier ayuda con respecto a este apreciado.

Answer 1

Para los campos de la mayoría de los problema de base es la de los campos de diferentes características. Si $K$ $L$ son los campos, entonces el producto de a $K\times L$ (si existe) tendría que ser un campo en el que puede asignar en tanto $K$$L$, lo que significa, en particular, tiene la misma característica que tanto $K$$L$, lo cual es imposible si $K$ $L$ tienen diferentes características.

Incluso si se limita a los campos de una característica fija, sin embargo, usted todavía no tiene productos. Por ejemplo, en la categoría de los campos de algunos característica fija, deje $K$ ser cualquier campo de la no-identidad endomorfismo $e:K\to K$. Entonces me afirmación de que no hay producto $K\times K$. Para supongamos que hay; llamarlo $P$, y deje $p:P\to K$ $q:P\to K$ ser las dos proyecciones. Considerando $L=K$ y los mapas de identidad $f=g=1:L\to K$, por lo universal de la propiedad de que el producto no debe existir $h:L\to P$ tal que $ph=f$$qh=g$. Desde $f$ $g$ son las señas de identidad y todos los mapas de los campos es inyectiva, esto significa que $h$ debe ser un isomorfismo y $p=q$ es su inversa. Pero ahora consideremos $g'=e:L\to K$; hay entonces una $h':L\to K$ tal que $ph'=f$$qh'=g'$. Desde $p=q$, esto significa $f=g'$, lo cual es una contradicción ya que hemos asumido $e\neq 1$.

El caso de lisa colectores sin límite es bastante sutil (de hecho, la categoría de suave colectores tiene algunos límites que no puede esperar a tener). Permítanme esbozar una prueba de que no hay ningún producto $[0,1)\times[0,1)$ en la categoría de suave colectores con el límite. Supongamos que usted había dicho producto $P$. Considerando los mapas de la $1$-punto de colector a $P$, se puede identificar el conjunto subyacente de $P$ con el producto cartesiano $[0,1)\times[0,1)$. Considerando suave mapas de $\mathbb{R}$, se puede demostrar que los $P$ está conectado. Considerando suave mapas de $\mathbb{R}^2$, se puede demostrar que los $P$ $2$- dimensional y que $\{0\}\times [0,1)\cup[0,1)\times\{0\}$ debe ser su límite (aquí se utiliza para que un punto está en el interior de una $2$-colector de iff hay un inyectiva suave mapa de $\mathbb{R}^2$ a la multiplicidad de quién es la imagen que contiene el punto, pero no este tipo de mapa de $\mathbb{R}^n$ cualquier $n>2$). Utilizando de nuevo suave mapas de $\mathbb{R}$, se puede mostrar que este límite debe estar conectado, y que (a través de la clasificación de $1$-variedades), de hecho, debe ser diffeomorphic a $\mathbb{R}$. Tal diffeomorphism $\mathbb{R}\to P$ sobre el límite, a continuación, da un buen inyección de $i:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ cuya imagen es $\{0\}\times [0,1)\cup[0,1)\times\{0\}$, e $i$ tiene la propiedad de que cada liso mapa de $j:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ cuya imagen está contenida en $\{0\}\times [0,1)\cup[0,1)\times\{0\}$ factores suavemente a través de $i$. Usted puede demostrar que no hay tal $i$ existe mediante el examen de lo que se hace cerca de la esquina: suponiendo sin pérdida de generalidad que $i(0)=(0,0)$, a continuación, todos los derivados de $i$ debe desaparecer en $0$. Pero, a continuación, $j(x)=i(\sqrt[3]{x})$ es suave y no es un factor a través de $i$, lo cual es una contradicción.

Para otros ejemplos de categorías sin productos, es muy fácil conseguir ejemplos, si se mira en categorías pequeñas que pensar como un individuo algebraica de la estructura, en lugar de categorías como "la categoría de todas las estructuras de un tipo determinado". Por ejemplo, puede crear una categoría con cualquier conjunto de objetos y no de identidad no morfismos, y esto no tiene productos de distintos objetos. O usted puede tomar un monoid y la consideran como una categoría con un objeto, y que rara vez se tiene un producto de dos copias del objeto.

Answer 2

Deje $K$ ser un campo. En la categoría de campos, vamos a probar a $P = K \times K$ (categórica producto) no existe en general. Si lo hiciera, sería vienen equipados con la proyección de dos morfismos $\pi_1, \pi_2 \colon P \to K$. Si $\operatorname{id} \colon K \to K$ es la identidad de morfismos, el par $(\operatorname{id},\operatorname{id})$ factor a través de $P$, mostrando que el $\pi_1, \pi_2$ son surjective, por lo tanto, son isomorphisms. Por lo tanto podemos suponer $P = K$$\pi_1 = \pi_2 = \operatorname{id}$.

Ahora si $L$ es un campo arbitrario y $\phi_1,\phi_2 \colon L \to K$ son morfismos, entonces la aplicación de la característica universal de $P$, debe haber alguna $\psi \colon L \to P$ tal que $\phi_1 = \pi_1 \circ \psi = \psi = \pi_2 \circ \psi = \phi_2$. Por lo tanto cualquiera de las dos incrustaciones $L \to K$ deben de coincidir.

En particular, cuando se $L = K$, esto implica que el campo no tiene ninguna trivial automorfismos. Esto es absurdo, como el ejemplo de la compleja conjugación en $\mathbb{C}$ muestra.

Answer 3

Posets (vista por categorías) proporcionan muchos ejemplos de categorías sin ciertos límites. Un producto de dos elementos en un poset es simplemente un mayor límite inferior, por lo que sólo necesitan hacer un poset donde algunos par de elementos no tiene más límite inferior. Por ejemplo, el poset $\{ a, b, c, d \}$ donde $a \leq c, a \leq d, b \leq c, b \leq d$. A continuación, tanto en $a$ $b$ son límites inferiores para$c$$d$, pero son incomparables.